4282.

648.e

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

2xx−1+x+1x2+x+1−3x2+2x+1x3−1\frac{2x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} - \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^3 - 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

x−1≠0ix2+x+1≠0ix3−1≠0x - 1 \neq 0 \quad \text{i} \quad x^2 + x + 1 \neq 0 \quad \text{i} \quad x^3 - 1 \neq 0

Kako je x3−1=(x−1)(x2+x+1) x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) (razlika kubova), a kvadratni trinom x2+x+1 x^2 + x + 1 je uvek pozitivan za realne brojeve (diskriminanta je manja od nule), jedini uslov definisanosti je:

x−1≠0  ⟹  x≠1x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1

Svodimo razlomke na zajednički imenilac, koji je x3−1=(x−1)(x2+x+1). x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) .

2x(x2+x+1)(x−1)(x2+x+1)+(x+1)(x−1)(x−1)(x2+x+1)−3x2+2x+1(x−1)(x2+x+1)\frac{2x(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3x^2 + 2x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}

Zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom:

2x(x2+x+1)+(x+1)(x−1)−(3x2+2x+1)x3−1\frac{2x(x^2 + x + 1) + (x + 1)(x - 1) - (3x^2 + 2x + 1)}{x^3 - 1}

Množimo članove u brojiocu. Koristimo formulu za razliku kvadrata za (x+1)(x−1). (x + 1)(x - 1) .

2x3+2x2+2x+x2−1−3x2−2x−1x3−1\frac{2x^3 + 2x^2 + 2x + x^2 - 1 - 3x^2 - 2x - 1}{x^3 - 1}

Grupišemo slične članove u brojiocu:

2x3+(2x2+x2−3x2)+(2x−2x)+(−1−1)x3−1\frac{2x^3 + (2x^2 + x^2 - 3x^2) + (2x - 2x) + (-1 - 1)}{x^3 - 1}

Nakon sabiranja sličnih članova, brojilac se znatno uprošćava:

2x3−2x3−1\frac{2x^3 - 2}{x^3 - 1}

Izvlačimo zajednički činilac 2 2 ispred zagrade u brojiocu:

2(x3−1)x3−1\frac{2(x^3 - 1)}{x^3 - 1}

Skraćujemo razlomak sa x3−1, x^3 - 1 , što smemo da uradimo jer smo na početku utvrdili da je x≠1, x \neq 1 , odnosno x3−1≠0. x^3 - 1 \neq 0 .

22