4280.

649.a

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

10x2x−6−9x+32x−6x2x−y−y2x−y\frac{\frac{10x}{2x - 6} - \frac{9x + 3}{2x - 6}}{\frac{x^2}{x - y} - \frac{y^2}{x - y}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci svih razlomaka, kao i glavni imenilac, ne smeju biti jednaki nuli.

{2x−6≠0x−y≠0x2x−y−y2x−y≠0\begin{cases} 2x - 6 \neq 0 \\ x - y \neq 0 \\ \frac{x^2}{x - y} - \frac{y^2}{x - y} \neq 0 \end{cases}

Rešavamo postavljene uslove:

{2x≠6  ⟹  x≠3x≠yx2−y2x−y≠0  ⟹  x2−y2≠0  ⟹  (x−y)(x+y)≠0\begin{cases} 2x \neq 6 \implies x \neq 3 \\ x \neq y \\ \frac{x^2 - y^2}{x - y} \neq 0 \implies x^2 - y^2 \neq 0 \implies (x-y)(x+y) \neq 0 \end{cases}

Iz trećeg uslova dobijamo da je x≠y x \neq y i x≠−y. x \neq -y . Konačni uslovi definisanosti su:

x≠3,x≠y,x≠−yx \neq 3, \quad x \neq y, \quad x \neq -y

Sada uprošćavamo brojilac glavnog razlomka. Pošto razlomci imaju isti imenilac, možemo ih oduzeti:

10x2x−6−9x+32x−6=10x−(9x+3)2x−6=10x−9x−32x−6=x−32x−6\frac{10x}{2x - 6} - \frac{9x + 3}{2x - 6} = \frac{10x - (9x + 3)}{2x - 6} = \frac{10x - 9x - 3}{2x - 6} = \frac{x - 3}{2x - 6}

Izvlačimo zajednički činilac u imeniocu i skraćujemo razlomak (što je dozvoljeno jer je x≠3 x \neq 3 ):

x−32(x−3)=12\frac{x - 3}{2(x - 3)} = \frac{1}{2}

Zatim uprošćavamo imenilac glavnog razlomka. Razlomci takođe imaju isti imenilac:

x2x−y−y2x−y=x2−y2x−y\frac{x^2}{x - y} - \frac{y^2}{x - y} = \frac{x^2 - y^2}{x - y}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u brojiocu i skraćujemo razlomak (što je dozvoljeno jer je x≠y x \neq y ):

(x−y)(x+y)x−y=x+y\frac{(x - y)(x + y)}{x - y} = x + y

Vraćamo dobijene rezultate u početni izraz i dobijamo konačno rešenje:

12x+y=12(x+y)\frac{\frac{1}{2}}{x + y} = \frac{1}{2(x + y)}