4256.

644.g

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

(a+bb−2bb−a)⋅b−aa2+b2+(a2+12a−1−a2):2+a1−2a\left( \frac{a+b}{b} - \frac{2b}{b-a} \right) \cdot \frac{b-a}{a^2+b^2} + \left( \frac{a^2+1}{2a-1} - \frac{a}{2} \right) : \frac{2+a}{1-2a}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, a takođe i izraz kojim delimo ne sme biti jednak nuli.

b≠0,b−a≠0,2a−1≠0,1−2a≠0,2+a≠0b \neq 0, \quad b-a \neq 0, \quad 2a-1 \neq 0, \quad 1-2a \neq 0, \quad 2+a \neq 0

Iz prethodnog koraka dobijamo sledeće uslove definisanosti:

b≠0,a≠b,a≠12,a≠−2b \neq 0, \quad a \neq b, \quad a \neq \frac{1}{2}, \quad a \neq -2

Sređujemo prvu zagradu svodeći razlomke na zajednički imenilac b(b−a). b(b-a) .

a+bb−2bb−a=(a+b)(b−a)−2b⋅bb(b−a)\frac{a+b}{b} - \frac{2b}{b-a} = \frac{(a+b)(b-a) - 2b \cdot b}{b(b-a)}

Primenjujemo razliku kvadrata u brojiocu i računamo.

b2−a2−2b2b(b−a)=−a2−b2b(b−a)=−(a2+b2)b(b−a)\frac{b^2 - a^2 - 2b^2}{b(b-a)} = \frac{-a^2 - b^2}{b(b-a)} = \frac{-(a^2+b^2)}{b(b-a)}

Sada množimo dobijeni rezultat sa b−aa2+b2. \frac{b-a}{a^2+b^2} .

−(a2+b2)b(b−a)⋅b−aa2+b2\frac{-(a^2+b^2)}{b(b-a)} \cdot \frac{b-a}{a^2+b^2}

Skraćujemo iste članove u brojiocu i imeniocu, uzimajući u obzir uslove definisanosti.

−1b-\frac{1}{b}

Prelazimo na drugu zagradu. Svodeći razlomke na zajednički imenilac 2(2a−1) 2(2a-1) dobijamo:

a2+12a−1−a2=2(a2+1)−a(2a−1)2(2a−1)\frac{a^2+1}{2a-1} - \frac{a}{2} = \frac{2(a^2+1) - a(2a-1)}{2(2a-1)}

Sređujemo brojilac.

2a2+2−2a2+a2(2a−1)=a+22(2a−1)\frac{2a^2 + 2 - 2a^2 + a}{2(2a-1)} = \frac{a+2}{2(2a-1)}

Deljenje razlomkom je ekvivalentno množenju njegovom recipročnom vrednošću.

a+22(2a−1)⋅1−2a2+a\frac{a+2}{2(2a-1)} \cdot \frac{1-2a}{2+a}

Izvlačimo minus ispred izraza 1−2a 1-2a kako bismo dobili −(2a−1) -(2a-1) i skraćujemo razlomke.

a+22(2a−1)⋅−(2a−1)a+2=−12\frac{a+2}{2(2a-1)} \cdot \frac{-(2a-1)}{a+2} = -\frac{1}{2}

Na kraju, sabiramo rezultate dobijene iz prvog i drugog dela izraza.

−1b−12-\frac{1}{b} - \frac{1}{2}

Svodeći na zajednički imenilac 2b 2b dobijamo konačan rezultat.

−2−b2b=−b+22b\frac{-2 - b}{2b} = -\frac{b+2}{2b}