4249.

643.a

TEKST ZADATKA

Uprostimo sledeći izraz:

(xx+y+yy−x−2xyx2−y2):(x+y−4xyx+y)\left( \frac{x}{x+y} + \frac{y}{y-x} - \frac{2xy}{x^2-y^2} \right) : \left( x+y - \frac{4xy}{x+y} \right)
REŠENJE ZADATKA

Pre početka rešavanja, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

x+y≠0  ⟹  x≠−yy−x≠0  ⟹  x≠yx2−y2≠0  ⟹  x≠±y\begin{aligned} x+y &\neq 0 \implies x \neq -y \\ y-x &\neq 0 \implies x \neq y \\ x^2-y^2 &\neq 0 \implies x \neq \pm y \end{aligned}

Takođe, izraz kojim delimo ne sme biti jednak nuli. Postavljamo uslov za delilac:

x+y−4xyx+y≠0x+y - \frac{4xy}{x+y} \neq 0

Sređujemo delilac kako bismo odredili konačan uslov i pripremili ga za deljenje. Svodeći na zajednički imenilac dobijamo:

(x+y)2−4xyx+y=x2+2xy+y2−4xyx+y=x2−2xy+y2x+y=(x−y)2x+y\frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y} = \frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y} = \frac{x^2-2xy+y^2}{x+y} = \frac{(x-y)^2}{x+y}

Iz ovoga vidimo da mora važiti (x−y)2≠0, (x-y)^2 \neq 0 , što znači x≠y. x \neq y . Dakle, konačni uslovi definisanosti su:

x≠yix≠−yx \neq y \quad \text{i} \quad x \neq -y

Sada prelazimo na sređivanje prve zagrade. Primetimo da je y−x=−(x−y) y-x = -(x-y) i x2−y2=(x−y)(x+y). x^2-y^2 = (x-y)(x+y) . Zapisujemo izraz sa ovim izmenama:

xx+y−yx−y−2xy(x−y)(x+y)\frac{x}{x+y} - \frac{y}{x-y} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)}

Svodeći razlomke na zajednički imenilac (x−y)(x+y), (x-y)(x+y) , dobijamo:

x(x−y)−y(x+y)−2xy(x−y)(x+y)\frac{x(x-y) - y(x+y) - 2xy}{(x-y)(x+y)}

Množimo članove u brojiocu:

x2−xy−xy−y2−2xy(x−y)(x+y)\frac{x^2 - xy - xy - y^2 - 2xy}{(x-y)(x+y)}

Grupišemo slične članove u brojiocu:

x2−4xy−y2(x−y)(x+y)\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)(x+y)}

Sada se vraćamo na početni izraz i menjamo prvu i drugu zagradu njihovim uprošćenim oblicima:

x2−4xy−y2(x−y)(x+y):(x−y)2x+y\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)(x+y)} : \frac{(x-y)^2}{x+y}

Deljenje razlomaka prelazimo u množenje recipročnom vrednošću:

x2−4xy−y2(x−y)(x+y)⋅x+y(x−y)2\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x+y}{(x-y)^2}

Skraćujemo x+y x+y u brojiocu i imeniocu (što je dozvoljeno jer je x≠−y x \neq -y ):

x2−4xy−y2x−y⋅1(x−y)2\frac{x^2 - 4xy - y^2}{x-y} \cdot \frac{1}{(x-y)^2}

Množenjem preostalih članova dobijamo konačan rezultat:

x2−4xy−y2(x−y)3\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)^3}