4089.

623.e

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

x4+4a(x2+2)−2ax−(x−1)2−1\frac{x^4 + 4}{a(x^2 + 2) - 2ax - (x - 1)^2 - 1}
REŠENJE ZADATKA

Fokusirajmo se prvo na brojilac. Možemo ga faktorisati dodavanjem i oduzimanjem člana 4x2 4x^2 kako bismo dobili razliku kvadrata.

x4+4=x4+4x2+4−4x2x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2

Prva tri člana čine kvadrat binoma.

(x2+2)2−(2x)2(x^2 + 2)^2 - (2x)^2

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata A2−B2=(A−B)(A+B). A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) .

(x2+2−2x)(x2+2+2x)=(x2−2x+2)(x2+2x+2)(x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)

Sada sredimo imenilac. Prvo grupišemo članove koji sadrže parametar a. a .

a(x2−2x+2)−(x−1)2−1a(x^2 - 2x + 2) - (x - 1)^2 - 1

Razvijamo kvadrat binoma (x−1)2. (x - 1)^2 .

a(x2−2x+2)−(x2−2x+1)−1a(x^2 - 2x + 2) - (x^2 - 2x + 1) - 1

Sređujemo preostale članove u imeniocu.

a(x2−2x+2)−(x2−2x+2)a(x^2 - 2x + 2) - (x^2 - 2x + 2)

Izvlačimo zajednički faktor (x2−2x+2). (x^2 - 2x + 2) .

(a−1)(x2−2x+2)(a - 1)(x^2 - 2x + 2)

Vraćamo faktorisani brojilac i imenilac u početni razlomak.

(x2−2x+2)(x2+2x+2)(a−1)(x2−2x+2)\frac{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)}{(a - 1)(x^2 - 2x + 2)}

Skraćujemo zajednički faktor x2−2x+2. x^2 - 2x + 2 . Primetimo da je x2−2x+2=(x−1)2+1>0 x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 > 0 za svako realno x, x , pa je skraćivanje uvek dozvoljeno.

x2+2x+2a−1\frac{x^2 + 2x + 2}{a - 1}

Konačan rezultat važi uz uslov da imenilac nije nula, odnosno a≠1. a \neq 1 .

x2+2x+2a−1,a≠1\frac{x^2 + 2x + 2}{a - 1}, \quad a \neq 1