4052.

618.d

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi: y−xx2−y2. \frac{y-x}{x^2-y^2} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo imenilac razlomka kako bismo ga rastavili na činioce koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Zatim posmatramo brojilac y−x. y - x . Da bismo mogli da skratimo razlomak, izvući ćemo znak minus ispred zagrade kako bismo dobili izraz identičan onom u imeniocu.

y−x=−(x−y)y - x = -(x - y)

Sada uvrštavamo transformisane izraze nazad u razlomak.

y−xx2−y2=−(x−y)(x−y)(x+y)\frac{y - x}{x^2 - y^2} = \frac{-(x - y)}{(x - y)(x + y)}

Pre skraćivanja, moramo definisati uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

(x−y)(x+y)≠0  ⟹  x−y≠0 i x+y≠0(x - y)(x + y) \neq 0 \implies x - y \neq 0 \text{ i } x + y \neq 0

Iz uslova dobijamo da jednakost važi kada je:

x≠yix≠−yx \neq y \quad \text{i} \quad x \neq -y

Sada skraćujemo zajednički činilac (x−y) (x - y) u brojiocu i imeniocu.

−(x−y)(x−y)(x+y)=−1x+y\frac{-(x - y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{-1}{x + y}

Konačan rezultat sa zapisanim uslovima je:

y−xx2−y2=−1x+y,x≠±y\frac{y - x}{x^2 - y^2} = -\frac{1}{x + y}, \quad x \neq \pm y