4039.

616.b

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji zajednički sadržalac (NZS) polinoma: x4−x2, x^4 - x^2 , x3+2x2+x x^3 + 2x^2 + x i x2−1. x^2 - 1 .

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u pronalaženju NZS je rastavljanje svakog polinoma na proste činioce. Rastavljamo prvi polinom izvlačenjem zajedničkog člana i primenom razlike kvadrata.

x4−x2=x2(x2−1)=x2(x−1)(x+1)x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = x^2(x - 1)(x + 1)

Rastavljamo drugi polinom izvlačenjem zajedničkog člana, a zatim prepoznajemo kvadrat binoma.

x3+2x2+x=x(x2+2x+1)=x(x+1)2x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1) = x(x + 1)^2

Rastavljamo treći polinom koristeći formulu za razliku kvadrata.

x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) dobijamo tako što pomnožimo sve različite činioce koji se pojavljuju u rastavljenim oblicima, uzimajući svaki činilac sa najvećim eksponentom sa kojim se pojavljuje.

P1=x2(x−1)(x+1)P2=x(x+1)2P3=(x−1)(x+1)\begin{aligned} P_1 &= x^2(x - 1)(x + 1) \\ P_2 &= x(x + 1)^2 \\ P_3 &= (x - 1)(x + 1) \end{aligned}

Iz dobijenih rastava vidimo da su činioci x, x , x−1 x-1 i x+1. x+1 . Uzimamo njihove najveće stepene.

NZS(P1,P2,P3)=x2(x−1)(x+1)2NZS(P_1, P_2, P_3) = x^2(x - 1)(x + 1)^2