4036.

615.d

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji zajednički sadržalac (NZS) za sledeće polinome:

P1=a−b,P2=a2+ab+b2,P3=a2−ab+b2P_1 = a - b, \quad P_2 = a^2 + ab + b^2, \quad P_3 = a^2 - ab + b^2
REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo svaki polinom da vidimo da li se mogu dalje rastaviti na činioce. Polinom a−b a - b je linearni faktor i ne može se dalje rastavljati.

P1=a−bP_1 = a - b

Polinomi a2+ab+b2 a^2 + ab + b^2 i a2−ab+b2 a^2 - ab + b^2 su nepotpuni kvadrati zbira, odnosno razlike. Oni se ne mogu dalje rastaviti na činioce u skupu realnih brojeva.

P2=a2+ab+b2P3=a2−ab+b2P_2 = a^2 + ab + b^2 \\ P_3 = a^2 - ab + b^2

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) polinoma je proizvod svih različitih činitelja koji se pojavljuju u rastavima, uzetih sa najvećim eksponentom koji se pojavljuje. Pošto su svi naši polinomi već u najprostijem obliku i međusobno su različiti, NZS je njihov proizvod.

NZS(P1,P2,P3)=(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)NZS(P_1, P_2, P_3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)

Primetimo da prva dva činitelja formiraju razliku kubova prema formuli (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3. (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 . Možemo uprostiti izraz.

NZS=(a3−b3)(a2−ab+b2)NZS = (a^3 - b^3)(a^2 - ab + b^2)

Konačan oblik najmanjeg zajedničkog sadržalaca je:

NZS=(a3−b3)(a2−ab+b2)NZS = (a^3 - b^3)(a^2 - ab + b^2)