4014.

612.a

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma: A(x)=x3+x2−4x−4 A(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4 i B(x)=x2+4x+3. B(x) = x^2 + 4x + 3 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti polinom A(x) A(x) na činioce koristeći metodu grupisanja članova.

A(x)=x3+x2−4x−4=x2(x+1)−4(x+1)A(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1)

Izvlačimo zajednički faktor (x+1), (x + 1) , a zatim primenjujemo razliku kvadrata na preostali deo.

A(x)=(x+1)(x2−4)=(x+1)(x−2)(x+2)A(x) = (x + 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)

Sada ćemo rastaviti polinom B(x) B(x) na činioce. Tražimo dva broja čiji je zbir 4 4 i proizvod 3, 3 , ili koristimo kvadratnu formulu.

B(x)=x2+4x+3=x2+3x+x+3B(x) = x^2 + 4x + 3 = x^2 + 3x + x + 3

Grupišemo članove polinoma B(x) B(x) kako bismo ga rastavili na činioce.

B(x)=x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(x+1)B(x) = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(x + 1)

Upoređujemo faktore oba polinoma kako bismo pronašli zajedničke činioce.

A(x)=(x+1)(x−2)(x+2)B(x)=(x+1)(x+3)\begin{aligned} A(x) &= (x + 1)(x - 2)(x + 2) \\ B(x) &= (x + 1)(x + 3) \end{aligned}

Najveći zajednički delilac (NZD) je proizvod zajedničkih faktora sa najmanjim eksponentima koji se pojavljuju u oba polinoma.

NZD(A(x),B(x))=x+1\text{NZD}(A(x), B(x)) = x + 1