4007. NZD i NZS polinoma

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma:

P(a, b) = a^5 + a^3b^2 + a^2b^3 + b^5, \quad Q(a, b) = a^5 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^5

REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju polinoma $P(a, b)$ grupisanjem članova.

P(a, b) = (a^5 + a^3b^2) + (a^2b^3 + b^5)

Izvlačimo zajedničke faktore iz zagrada.

P(a, b) = a^3(a^2 + b^2) + b^3(a^2 + b^2)

Sada izvlačimo zajednički faktor $(a^2 + b^2) ,$ a zatim rastavljamo zbir kubova.

P(a, b) = (a^2 + b^2)(a^3 + b^3) = (a^2 + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)

Zatim vršimo faktorizaciju polinoma $Q(a, b)$ grupisanjem članova.

Q(a, b) = (a^5 - a^3b^2) + (a^2b^3 - b^5)

Izvlačimo zajedničke faktore iz zagrada.

Q(a, b) = a^3(a^2 - b^2) + b^3(a^2 - b^2)

Izvlačimo zajednički faktor $(a^2 - b^2) ,$ a zatim rastavljamo razliku kvadrata i zbir kubova.

Q(a, b) = (a^2 - b^2)(a^3 + b^3) = (a - b)(a + b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)

Sređujemo izraz za $Q(a, b) .$

Q(a, b) = (a - b)(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)

Najveći zajednički delilac (NZD) čine zajednički faktori sa najmanjim eksponentima.

\text{NZD}(P, Q) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Prepoznajemo da je dobijeni izraz formula za zbir kubova.

\text{NZD}(P, Q) = a^3 + b^3

612.d