307. Lopitalova teorema

Odrediti graničnu vrednost primenom Lopitalove teoreme.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x\sin{x}-x(1+x)}{x^3}

Uvrstiti $x=0.$ Dobije se neodređeni izraz $\frac{0}{0}.$

\frac{1\cdot0-0(1+0)}{0}=\frac{0}{0}

Primenitii Lopitalovu teoremu koja glasi: $\lim_{{x} \to {a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x} \to {a}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x\sin{x}-x(1+x))'}{(x^3)'}

Odrediti izvode brojioca i imenioca.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x\sin{x})'-(x+x^2)'}{3x^2}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{e^x\sin{x}+e^x\cos{x}-(1+2x)}{3x^2}

Uvrštavanjem vrednosti za $x$ opet se dobije neodređeni izraz $\frac{0}{0},$ pa se ponovo primenjuje Lopitalova teorema.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(e^x\sin{x})'+(e^x\cos{x})'-(1+2x)'}{(3x^2)'}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{\cancel{e^x\sin{x}}+e^x\cos{x}-\cancel{e^x\sin{x}}-2}{6x}

Opet se dobije neodređeni izraz pa se ponovo primenjuje formula za Lopitalovu teoremu:

\lim_{{x} \to {0}}\frac{(2e^x\cos{x}-2)'}{(6x)'}=\lim_{{x} \to {0}}\frac{2e^x\cos{x}-2e^x\sin{x}}{6}

Uvrstiti vrednost za $x.$

\frac{2-0}{6}=\frac{1}{3}

307.Lopitalova teorema