2332. Logaritamske jednačine

Odredimo domen jednačine. Osnove logaritama moraju biti veće od nule i različite od jedan.

x > 0, \quad x \neq 1, \quad ax \neq 1, \quad a^2x \neq 1

Pošto je $a > 0$ i $a \neq 1 ,$ uslovi se svode na:

x > 0, \quad x \neq 1, \quad x \neq a^{-1}, \quad x \neq a^{-2}

Primenimo osobinu za promenu osnove logaritma $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ na svaki sabirak:

\frac{2}{\log_a x} + \frac{1}{\log_a (ax)} + \frac{3}{\log_a (a^2x)} = 0

Primenimo osobinu logaritma proizvoda $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ na imenioce:

\frac{2}{\log_a x} + \frac{1}{\log_a a + \log_a x} + \frac{3}{\log_a a^2 + \log_a x} = 0

Zamenimo $\log_a a = 1$ i $\log_a a^2 = 2 :$

\frac{2}{\log_a x} + \frac{1}{1 + \log_a x} + \frac{3}{2 + \log_a x} = 0

Uvedimo smenu $t = \log_a x .$ Zbog uslova domena, važi $t \neq 0 ,$ $t \neq -1 ,$ $t \neq -2 .$

\frac{2}{t} + \frac{1}{1 + t} + \frac{3}{2 + t} = 0

Pomnožimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem $t(t+1)(t+2) :$

2(t+1)(t+2) + t(t+2) + 3t(t+1) = 0

Sredimo izraz:

2(t^2 + 3t + 2) + t^2 + 2t + 3t^2 + 3t = 0

Grupišemo slične članove:

6t^2 + 11t + 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4}}{2 \cdot 6}

Računamo vrednosti za $t :$

t_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 96}}{12} = \frac{-11 \pm 5}{12}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = -\frac{16}{12} = -\frac{4}{3}, \quad t_2 = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}

Oba rešenja zadovoljavaju uslove za $t .$ Vratimo smenu $t = \log_a x$ za prvo rešenje:

\log_a x = -\frac{4}{3} \implies x_1 = a^{-\frac{4}{3}}

Vratimo smenu za drugo rešenje:

\log_a x = -\frac{1}{2} \implies x_2 = a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}}

Oba rešenja zadovoljavaju početne uslove domena. Konačna rešenja su:

x \in \left\{ a^{-\frac{4}{3}}, a^{-\frac{1}{2}} \right\}

2332.Logaritamske jednačine