Jednačina: 15 na log5 x puta x na log5 45x = 1

Zbog definisanosti logaritma, mora da važi:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu $5 :$

\log_5 (15^{\log_5 x} \cdot x^{\log_5 45x}) = \log_5 1

Primenjujemo osobinu logaritma proizvoda $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y :$

\log_5 (15^{\log_5 x}) + \log_5 (x^{\log_5 45x}) = 0

Primenjujemo osobinu logaritma stepena $\log_a x^s = s \log_a x :$

\log_5 x \cdot \log_5 15 + \log_5 45x \cdot \log_5 x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\log_5 x$ ispred zagrade:

\log_5 x \cdot (\log_5 15 + \log_5 45x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\log_5 x = 0 \quad \lor \quad \log_5 15 + \log_5 45x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\log_5 x = 0 \implies x = 1

Rešavamo drugu jednačinu primenom osobine zbira logaritama $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy) :$

\log_5 (15 \cdot 45x) = 0

Množimo brojeve unutar logaritma:

\log_5 (675x) = 0

Oslobađamo se logaritma primenom definicije $\log_a b = c \iff a^c = b :$

675x = 5^0

Pošto je $5^0 = 1 ,$ računamo $x :$

675x = 1 \implies x = \frac{1}{675}

Oba dobijena rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 .$ Konačan skup rešenja je:

x \in \left\{ \frac{1}{675}, 1 \right\}

538.j