2331. Logaritamske jednačine

Određujemo oblast definisanosti jednačine. Zbog logaritma mora biti $x > 0 ,$ a zbog imenioca u izložiocu $\lg x \neq 0 ,$ odnosno $x \neq 1 .$

x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)

Uvodimo smenu $t = \left(\frac{1}{x}\right)^{(1/\lg x)^2} .$ Jednačina se svodi na kvadratnu:

t^2 - 30t + 200 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 200}}{2} = \frac{30 \pm 10}{2}

Dobijamo rešenja za $t :$

t_1 = 10, \quad t_2 = 20

Vraćamo se na smenu za prvo rešenje $t_1 = 10 :$

\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\lg^2 x}} = 10

Zapisujemo $\frac{1}{x}$ kao $x^{-1}$ i logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 10:

\lg \left( x^{-\frac{1}{\lg^2 x}} \right) = \lg 10

Primenjujemo osobinu logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ i činjenicu da je $\lg 10 = 1 :$

-\frac{1}{\lg^2 x} \cdot \lg x = 1

Skraćujemo $\lg x$ (što je dozvoljeno jer $\lg x \neq 0$ ):

-\frac{1}{\lg x} = 1 \implies \lg x = -1

Rešavamo po $x :$

x = 10^{-1} = \frac{1}{10}

Vraćamo se na smenu za drugo rešenje $t_2 = 20 :$

\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\lg^2 x}} = 20

Slično kao u prethodnom slučaju, logaritmujemo obe strane:

\lg \left( x^{-\frac{1}{\lg^2 x}} \right) = \lg 20

Primenjujemo osobinu logaritma za stepen:

-\frac{1}{\lg^2 x} \cdot \lg x = \lg 20

Skraćujemo $\lg x$ i izražavamo $\lg x :$

-\frac{1}{\lg x} = \lg 20 \implies \lg x = -\frac{1}{\lg 20}

Rešavamo po $x :$

x = 10^{-\frac{1}{\lg 20}}

Oba dobijena rešenja pripadaju oblasti definisanosti jednačine.

x \in \left\{ \frac{1}{10}, 10^{-\frac{1}{\lg 20}} \right\}

2331.Logaritamske jednačine