Podeli

602.
Logaritamska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\log_{\frac 14}(2-x)>\log_{\frac14}{\frac 2 {x+1}}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x<2 \quad\land\quad x>-1 \implies x\in(-1,2)

DODATNO OBJAŠNJENJE

2-x>0 \quad\land\quad \frac 2 {x+1}>0 \quad\land\quad x+1\not=0

Kako su osnove jednake ali manje od $1$ i veće od $0,$ moguće je porediti numeruse uz promenu smera znaka nejednakosti:

2-x<\frac 2 {x+1}

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

2-x-\frac 2 {x+1}<0

Srediti izraz:

\frac{x(1-x)}{x+1}<0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac{(2-x)(x+1)}{x+1}-\frac 2 {x+1}<0

\frac{(2-x)(x+1)-2}{x+1}<0

\frac{2x+2-x^2-x-2}{x+1}<0

\frac{x-x^2}{x+1}<0

Pronaći nule funkcije:

\frac{x(1-x)}{x+1}=0 \implies x=0\quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x\not=-1

x\in(-\infty,-1)

x\in(-1,0)

x\in(0,1)

x\in(1,\infty)

x

-

-

+

+

1-x

+

+

+

-

x+1

-

+

+

+

\frac{x(1-x)}{x+1}

+

-

+

-

Iz tabele utvrditi za koje vrednosti $x$ važi $\frac {x(1-x)}{x+1}<0$ i odrediti presek sa uslovima $x\in(-1,2)$

x\in( \ (-1,0) \ \cup \ (1, \infty) \ )\ \cap \ (-1,2)=(-1,0) \ \cup \ (1,2)

602.Logaritamska nejednačina