583.

Logaritamska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

log⁡x2⋅log⁡2x2⋅log⁡216x>1\log_x2\cdot \log_{2x}2\cdot\log_216x>1
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x>0∧x≠1∧x≠12x>0 \quad\land\quad x\not=1 \quad\land\quad x\not=\frac 12

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡ba=1log⁡ab, a>0, b>0, a≠1, b≠1\log_ba=\frac 1 {\log_ab}, \ a\gt0,\ b\gt0, \ a\not=1, \ b\not=1

1log⁡2x⋅1log⁡22x⋅log⁡216x>1\frac 1{\log_2x}\cdot \frac 1 { \log_22x}\cdot\log_216x>1

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡axy=log⁡ax+log⁡ay, x>0, y>0, a>0, a≠1\log_axy=\log_ax+\log_ay, \ x\gt0,\ y \gt0,\ a\gt0, \ a\not=1

log⁡216+log⁡2xlog⁡2x⋅(log⁡22+log⁡2x)>1\frac {\log_216+\log_2x}{\log_2x\cdot( \log_22+\log_2x)}>1

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡axs=slog⁡ax, x>0, a>0, a≠1, s∈R\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}

4log⁡22+log⁡2xlog⁡2x⋅(log⁡22+log⁡2x)>1\frac {4\log_22+\log_2x}{\log_2x\cdot( \log_22+\log_2x)}>1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡aa=1, a>0, a≠1\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1

4+log⁡2xlog⁡2x⋅(1+log⁡2x)>1\frac {4+\log_2x}{\log_2x\cdot(1+\log_2x)}>1

Uvesti smenu log⁡2x=t.\log_2x=t.

4+tt(1+t)>1,t≠0∧t≠−1\frac {4+t}{t(1+t)}>1, \quad t\not=0 \quad\land\quad t\not=-1

Pronaći nule funkcije:

4+tt(1+t)=1\frac {4+t}{t(1+t)}=1

Sređivanjem izraza dobija se:

(2−t)(2+t)t(1+t)=0\frac {(2-t)(2+t)}{t(1+t)}=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem jednačine dobija se:

t=2∨t=−2 t=2 \quad\lor\quad t=-2
t∈(−∞,−2)t\in(-\infty, -2)
t∈(−2,−1)t\in(-2, -1)
t∈(−1,0)t\in(-1, 0)
t∈(0,2)t\in(0,2)
t∈(2,∞)t\in(2,\infty)
2−t2-t
++
++
++
++
−-
2+t2+t
−-
++
++
++
++
tt
−-
−-
−-
++
++
1+t1+t
−-
−-
++
++
++
(2−t)(2+t)t(1+t)\frac{(2-t)(2+t)} {t(1+t)}
−-
++
−-
++
−-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t∈(−2,−1) ∪ (0,2)t\in(-2,-1)\ \cup \ (0,2)

Vratiti log⁡2x\log_2x umesto smene t:t:

log⁡2x∈(−2,−1) ∪ (0,2)\log_2x\in(-2,-1)\ \cup \ (0,2)

Rešenje nejednačine je:

x∈(14,12) ∪ (1,4)x\in(\frac 14, \frac 12)\ \cup \ (1,4)
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti