558.

Logaritamska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

log⁡(x+1+1)log⁡x−403=3\frac {\log(\sqrt{x+1}+1)} {\log{\sqrt[3]{x-40}}}=3
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

log⁡x−403>0∧x−403>0∧x+1+1>0  ⟹  x>41∧x>40∧x≥−1  ⟹  x>41\log\sqrt[3]{x-40} \gt0 \quad\land\quad\sqrt[3]{x-40}\gt0 \quad\land\quad \sqrt{x+1}+1\gt0 \implies x\gt41 \quad\land\quad x\gt40 \quad\land\quad x\ge -1 \implies x\gt41
DODATNO OBJAŠNJENJE

Unakrsno pomnožiti izraz:

log⁡(x+1+1)=3log⁡x−403\log(\sqrt{x+1}+1) =3\log\sqrt[3]{x-40}

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima i korenima: amn=amn a^{\frac m n}=\sqrt[n]{a^m}

log⁡(x+1+1)=3log⁡(x−40)13\log(\sqrt{x+1}+1) =3\log(x-40)^{\frac 13}

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: log⁡axs=slog⁡ax, x>0, a>0, a≠1, s∈R\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}

log⁡(x+1+1)=log⁡(x−40)\log(\sqrt{x+1}+1) =\log(x-40)
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

x+1+1=x−40\sqrt{x+1}+1 =x-40

Prebaciti 1 na drugu stranu znaka jednakosti:

x+1=x−41\sqrt{x+1} =x-41

Kvadrirati izraz:

x+1=x2−82x+1681x+1=x^2-82x+1681

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

x2−83x+1680=0x^2-83x+1680=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−83b=-83 i c=1680c=1680

x1,2=83±(−83)2−4⋅1⋅16802⋅1  ⟹  x1=48,x2=35x_{1,2}=\frac {83\pm\sqrt{(-83)^2-4\cdot1\cdot1680}} {2\cdot1} \implies x_1=48, \quad x_2=35

Kako drugo rešenje ne ispunjava uslov jednačine, ono se odbacuje. Konačno rešenje:

x=48x=48

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti