4382.

688.v

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (a∈R a \in \mathbf{R} ):

(a2+2a−3)x=a2−5a+4(a^2 + 2a - 3)x = a^2 - 5a + 4
REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo kvadratne trinome na levoj i desnoj strani jednačine.

a2+2a−3=a2+3a−a−3=a(a+3)−(a+3)=(a−1)(a+3)a2−5a+4=a2−4a−a+4=a(a−4)−(a−4)=(a−1)(a−4)\begin{aligned} a^2 + 2a - 3 &= a^2 + 3a - a - 3 = a(a+3) - (a+3) = (a-1)(a+3) \\ a^2 - 5a + 4 &= a^2 - 4a - a + 4 = a(a-4) - (a-4) = (a-1)(a-4) \end{aligned}

Zapisujemo jednačinu u faktorisanom obliku.

(a−1)(a+3)x=(a−1)(a−4)(a-1)(a+3)x = (a-1)(a-4)

Prvi slučaj: Ako je koeficijent uz x x različit od nule, odnosno (a−1)(a+3)≠0, (a-1)(a+3) \neq 0 , tada je a≠1 a \neq 1 i a≠−3. a \neq -3 . Delimo jednačinu sa (a−1)(a+3). (a-1)(a+3) .

x=(a−1)(a−4)(a−1)(a+3)=a−4a+3x = \frac{(a-1)(a-4)}{(a-1)(a+3)} = \frac{a-4}{a+3}

Drugi slučaj: Ako je a=1, a = 1 , zamenjujemo ovu vrednost u faktorisanu jednačinu.

(1−1)(1+3)x=(1−1)(1−4)0⋅4⋅x=0⋅(−3)0⋅x=0\begin{aligned} (1-1)(1+3)x &= (1-1)(1-4) \\ 0 \cdot 4 \cdot x &= 0 \cdot (-3) \\ 0 \cdot x &= 0 \end{aligned}

Kada je a=1, a = 1 , jednačina je oblika 0=0, 0 = 0 , što znači da je tačna za svako realno x. x .

x∈Rx \in \mathbf{R}

Treći slučaj: Ako je a=−3, a = -3 , zamenjujemo ovu vrednost u faktorisanu jednačinu.

(−3−1)(−3+3)x=(−3−1)(−3−4)−4⋅0⋅x=−4⋅(−7)0⋅x=28\begin{aligned} (-3-1)(-3+3)x &= (-3-1)(-3-4) \\ -4 \cdot 0 \cdot x &= -4 \cdot (-7) \\ 0 \cdot x &= 28 \end{aligned}

Kada je a=−3, a = -3 , dobijamo nemoguću jednakost 0=28, 0 = 28 , pa jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Zapisujemo konačan zaključak koji obuhvata sve slučajeve.

x={a−4a+3,a∈R∖{−3,1}R,a=1∅,a=−3x = \begin{cases} \frac{a-4}{a+3}, & a \in \mathbf{R} \setminus \{-3, 1\} \\ \mathbf{R}, & a = 1 \\ \emptyset, & a = -3 \end{cases}