4367.

678.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da sledeća jednačina nema rešenja: x+1x−1−x−1x+1=4x+1x2−1 \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4x+1}{x^2-1}

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti jednačine. Imenitelji ne smeju biti nula.

x−1≠0  ⟹  x≠1x+1≠0  ⟹  x≠−1x2−1≠0  ⟹  (x−1)(x+1)≠0  ⟹  x≠±1x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 \\ x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq \pm 1

Domen jednačine je skup svih realnih brojeva osim 1 1 i −1. -1 .

D=R∖{−1,1}D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Svodimo razlomke na levoj strani na zajednički imenitelj (x−1)(x+1)=x2−1. (x-1)(x+1) = x^2-1 .

(x+1)2−(x−1)2x2−1=4x+1x2−1\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1} = \frac{4x+1}{x^2-1}

Pošto su imenitelji isti, možemo izjednačiti brojioce uz uslov da je x∈D. x \in D .

(x+1)2−(x−1)2=4x+1(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x+1

Kvadriramo binome na levoj strani jednačine.

(x2+2x+1)−(x2−2x+1)=4x+1(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x + 1

Sređujemo levu stranu jednačine.

x2+2x+1−x2+2x−1=4x+14x=4x+1x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x + 1 \\ 4x = 4x + 1

Oduzimanjem 4x 4x sa obe strane dobijamo kontradikciju.

0=10 = 1

Dobijeni izraz 0=1 0 = 1 nikada nije tačan, što znači da polazna jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset