4341.

677.g

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: x−4x+4+x+5x−5=2x(x+5)x2−x−20 \frac{x-4}{x+4} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{2x(x+5)}{x^2-x-20}

REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju imenioca na desnoj strani jednačine. Kvadratni trinom x2−x−20 x^2-x-20 možemo napisati kao proizvod linearnih činilaca.

x2−x−20=(x−5)(x+4)x^2-x-20 = (x-5)(x+4)

Definišemo oblast definisanosti jednačine. Imenioci ne smeju biti nula.

x+4≠0  ⟹  x≠−4x−5≠0  ⟹  x≠5x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 \\ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem (x+4)(x−5) (x+4)(x-5) kako bismo se oslobodili razlomaka.

(x−4)(x−5)+(x+5)(x+4)=2x(x+5)(x-4)(x-5) + (x+5)(x+4) = 2x(x+5)

Sređujemo izraze množenjem zagrada.

(x2−5x−4x+20)+(x2+4x+5x+20)=2x2+10x(x^2 - 5x - 4x + 20) + (x^2 + 4x + 5x + 20) = 2x^2 + 10x

Sabiramo slične članove na levoj strani.

2x2+40=2x2+10x2x^2 + 40 = 2x^2 + 10x

Oduzimamo 2x2 2x^2 sa obe strane i rešavamo po x. x .

40=10xx=4010x=440 = 10x \\ x = \frac{40}{10} \\ x = 4

Proveravamo da li rešenje pripada oblasti definisanosti. Pošto je 4≠−4 4 \neq -4 i 4≠5, 4 \neq 5 , rešenje je prihvatljivo.

x=4x = 4