4330.

677.đ

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

1x+53−x−54+2x+5=−23\frac{1}{\frac{x+5}{3} - \frac{x-5}{4}} + \frac{2}{x+5} = -\frac{2}{3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo srediti dvojni razlomak u prvom sabirku. Najpre računamo razliku u imeniocu:

x+53−x−54=4(x+5)−3(x−5)12=4x+20−3x+1512=x+3512\frac{x+5}{3} - \frac{x-5}{4} = \frac{4(x+5) - 3(x-5)}{12} = \frac{4x + 20 - 3x + 15}{12} = \frac{x + 35}{12}

Sada zamenjujemo dobijeni izraz nazad u jednačinu:

1x+3512+2x+5=−23\frac{1}{\frac{x+35}{12}} + \frac{2}{x+5} = -\frac{2}{3}

Sređujemo prvi sabirak kao recipročnu vrednost:

12x+35+2x+5=−23\frac{12}{x+35} + \frac{2}{x+5} = -\frac{2}{3}

Pre nego što nastavimo, definišemo uslove pod kojima jednačina ima smisla (imenitelji ne smeju biti nula):

x+35≠0  ⟹  x≠−35x+5≠0  ⟹  x≠−5x+35 \neq 0 \implies x \neq -35 \\ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržocem 3(x+35)(x+5) 3(x+35)(x+5) kako bismo se oslobodili razlomaka:

12⋅3(x+5)+2⋅3(x+35)=−2(x+35)(x+5)12 \cdot 3(x+5) + 2 \cdot 3(x+35) = -2(x+35)(x+5)

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine:

36(x+5)+6(x+35)=−2(x2+5x+35x+175)36x+180+6x+210=−2(x2+40x+175)42x+390=−2x2−80x−35036(x+5) + 6(x+35) = -2(x^2 + 5x + 35x + 175) \\ 36x + 180 + 6x + 210 = -2(x^2 + 40x + 175) \\ 42x + 390 = -2x^2 - 80x - 350

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

2x2+42x+80x+390+350=02x2+122x+740=02x^2 + 42x + 80x + 390 + 350 = 0 \\ 2x^2 + 122x + 740 = 0

Delimo celu jednačinu sa 2 radi lakšeg računanja:

x2+61x+370=0x^2 + 61x + 370 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−61±612−4⋅1⋅3702⋅1x1,2=−61±3721−14802x1,2=−61±22412x_{1,2} = \frac{-61 \pm \sqrt{61^2 - 4 \cdot 1 \cdot 370}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} = \frac{-61 \pm \sqrt{3721 - 1480}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{-61 \pm \sqrt{2241}}{2}

Kako 2241=9⋅249=3249, \sqrt{2241} = \sqrt{9 \cdot 249} = 3\sqrt{249} , rešenja su:

x1=−61+32492,x2=−61−32492x_1 = \frac{-61 + 3\sqrt{249}}{2}, \quad x_2 = \frac{-61 - 3\sqrt{249}}{2}

Proveravamo da li rešenja zadovoljavaju početne uslove x≠−35 x \neq -35 i x≠−5. x \neq -5 . Pošto su oba rešenja različita od ovih vrednosti, oba su prihvatljiva.