4294.

669.ž

TEKST ZADATKA

Ispitati da li su ekvivalentne sledeće jednačine: x−3+1x−2=5+1x−2 x - 3 + \frac{1}{x - 2} = 5 + \frac{1}{x - 2} i x−3=5. x - 3 = 5 .

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja na istom domenu. Prvo određujemo domen prve jednačine. Zbog razlomka, imenilac ne sme biti nula.

x−2≠0  ⟹  x≠2x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2

Rešavamo prvu jednačinu pod uslovom x≠2. x \neq 2 . Možemo skratiti iste članove sa obe strane jednačine.

x−3+1x−2=5+1x−2x−3=5x=8x - 3 + \frac{1}{x - 2} = 5 + \frac{1}{x - 2} \\ x - 3 = 5 \\ x = 8

Proveravamo da li rešenje x=8 x = 8 pripada domenu prve jednačine. Kako je 8≠2, 8 \neq 2 , skup rešenja prve jednačine je:

S1={8}S_1 = \{8\}

Sada rešavamo drugu jednačinu. Ova jednačina je definisana za sve realne brojeve jer nema razlomaka niti korena.

x−3=5x=8x - 3 = 5 \\ x = 8

Skup rešenja druge jednačine je:

S2={8}S_2 = \{8\}

Upoređujemo skupove rešenja. Pošto obe jednačine imaju isti skup rešenja S1=S2={8}, S_1 = S_2 = \{8\} , zaključujemo da su jednačine ekvivalentne.

S1=S2  ⟹  Jednacˇine su ekvivalentne.S_1 = S_2 \implies \text{Jednačine su ekvivalentne.}