464.

1. Linearna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3sin⁡x+cos⁡x=1\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x}=1
REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa: a2+b2=(3)2+12=3+1=2,\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+ 1^2} = \sqrt{3+1}=2, gde su aa i bb koeficijenti koji stoje uz sin⁡x\sin{x} i cos⁡x\cos{x}

32sin⁡x+12cos⁡x=12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} + \frac{1}{2}\cos{x}=\frac{1}{2}

Koeficijente 32\frac{\sqrt{3}}{2} i 12\frac{1}{2} zameniti njihovim trigonometrijskim vrednostima: sin⁡π6\sin{\frac{\pi}{6}} i cos⁡π6\cos{\frac{\pi}{6}}

cos⁡π6sin⁡x+sin⁡π6cos⁡x=12\cos{\frac{\pi}{6}}\sin{x} + \sin{\frac{\pi}{6}}\cos{x}=\frac{1}{2}

Leva strana jednačine može se napisati kao sinus zbira dva ugla koristeći formulu: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}

sin⁡(π6+x)=12\sin{(\frac{\pi}{6}+x)} = \frac{1}{2}

Rešenja jednačine su:

π6+x=π6+2kπ∨π6+x=5π6+2kπ,k∈Z\frac{\pi}{6}+x = \frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \lor \quad \frac{\pi}{6}+x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
x=2kπ∨x=2π3+2kπ,k∈Zx = 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}