TEKST ZADATKA
Skicirati grafike funkcija (zadaci 268-269):
y=∣−x2+x∣−x
REŠENJE ZADATKA
Da bismo skicirali grafik funkcije, prvo moramo da se oslobodimo apsolutne vrednosti. Definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću prema definiciji.
Definicija apsolutne vrednosti za dati izraz je:
∣−x2+x∣={−x2+x,−(−x2+x),za −x2+x≥0za −x2+x<0 Određujemo znak kvadratnog trinoma −x2+x. Nule ovog trinoma dobijamo rešavanjem jednačine −x2+x=0, odakle sledi x(1−x)=0, pa su nule x1=0 i x2=1. Pošto je koeficijent uz x2 negativan (a=−1), parabola je okrenuta nadole.
x∈(−∞,0) x∈(0,1) x∈(1,+∞) Na osnovu analize znaka, funkciju delimo na dva slučaja i računamo njen oblik za svaki od njih.
Prvi slučaj: za x∈[0,1], izraz pod apsolutnom vrednošću je nenegativan, pa apsolutna zagrada ostaje nepromenjena.
y=(−x2+x)−x=−x2 Na intervalu [0,1], grafik je deo parabole y=−x2. Teme ove parabole je u tački (0,0), a za x=1 vrednost funkcije je y=−1.
Drugi slučaj: za x∈(−∞,0)∪(1,+∞), izraz pod apsolutnom vrednošću je negativan, pa menja znak pri oslobađanju od apsolutne vrednosti.
y=−(−x2+x)−x=x2−x−x=x2−2x Na intervalima (−∞,0) i (1,+∞), grafik je deo parabole y=x2−2x. Određujemo njene karakteristične tačke.
Nule ove parabole su rešenja jednačine x2−2x=0, odnosno x(x−2)=0, pa su to x1=0 i x2=2. Teme parabole računamo po formuli xT=−2ab.
xT=−2⋅1−2=1⟹yT=12−2⋅1=−1 Teme parabole je u tački T(1,−1). Primetimo da se ova tačka poklapa sa krajem prvog slučaja, što znači da je funkcija neprekidna.
Konačan grafik funkcije se sastoji iz dela parabole y=−x2 na intervalu [0,1] i delova parabole y=x2−2x na intervalima (−∞,0) i (1,+∞).