TEKST ZADATKA
Ispitati funkciju i skicirati njen grafik: y=−31x2−2x−6.
REŠENJE ZADATKA
Određujemo koeficijente kvadratne funkcije oblika y=ax2+bx+c.
a=−31,b=−2,c=−6 Domen funkcije. Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.
Df=Rodnosnox∈(−∞,+∞) Presek sa y-osom dobijamo zamenom x=0 u jednačinu funkcije.
y(0)=−31⋅02−2⋅0−6=−6 Nule funkcije (preseci sa x-osom) dobijaju se rešavanjem jednačine y=0.
−31x2−2x−6=0/⋅(−3)⟹x2+6x+18=0 Računamo diskriminantu D=b2−4ac za dobijenu kvadratnu jednačinu.
D=62−4⋅1⋅18=36−72=−36 Pošto je D<0, jednačina nema realna rešenja, što znači da grafik funkcije ne seče x-osu.
x1,2∈/R Teme parabole T(xT,yT) predstavlja ekstremnu vrednost funkcije. Računamo x-koordinatu temena po formuli xT=−2ab.
xT=−2⋅(−31)−2=−−32−2=−3 Računamo y-koordinatu temena zamenom xT=−3 u jednačinu funkcije.
yT=−31(−3)2−2(−3)−6=−31⋅9+6−6=−3 Pošto je koeficijent a=−31<0, parabola je okrenuta otvorom nadole i teme T(−3,−3) predstavlja maksimum funkcije.
ymax=−3zax=−3 Osa simetrije parabole je prava koja prolazi kroz teme.
Monotonost funkcije. Funkcija raste do temena, a opada nakon temena.
y↗za x∈(−∞,−3)y↘za x∈(−3,+∞) Znak funkcije. Pošto je a<0 i D<0, funkcija je negativna za sve vrednosti x.
y<0za svako x∈R Kodomen (skup vrednosti) funkcije. Pošto funkcija ima maksimum u temenu, vrednosti idu od minus beskonačnosti do y-koordinate temena.
y∈(−∞,−3]