1623.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati funkcije i skicirati njihove grafike: y=−14x2+4 y = -\frac{1}{4}x^2 + 4 ;

REŠENJE ZADATKA

Data je kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c. y = ax^2 + bx + c . Određujemo njene koeficijente:

a=−14,b=0,c=4a = -\frac{1}{4}, \quad b = 0, \quad c = 4

Domen funkcije: Kvadratna funkcija je polinom, pa je definisana za sve realne brojeve.

D=Rodnosnox∈(−∞,+∞)D = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Presek sa y-osom dobijamo kada zamenimo x=0: x = 0 :

y=−14⋅02+4=4y = -\frac{1}{4} \cdot 0^2 + 4 = 4

Nule funkcije (preseci sa x-osom) dobijamo kada izjednačimo funkciju sa nulom (y=0 y = 0 ):

−14x2+4=0-\frac{1}{4}x^2 + 4 = 0

Računamo rešenja ove kvadratne jednačine:

14x2=4  ⟹  x2=16  ⟹  x1=−4,x2=4\frac{1}{4}x^2 = 4 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = -4, \quad x_2 = 4

Teme parabole T(xT,yT) T(x_T, y_T) računamo koristeći formule xT=−b2a x_T = -\frac{b}{2a} i yT=4ac−b24a. y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} . Kako je b=0, b = 0 , teme se nalazi na y-osi:

xT=0,yT=4  ⟹  T(0,4)x_T = 0, \quad y_T = 4 \implies T(0, 4)

Pošto je koeficijent a=−14<0, a = -\frac{1}{4} < 0 , parabola je okrenuta nadole (otvor parabole gleda nadole) i funkcija u temenu dostiže svoj maksimum.

ymax⁡=4zax=0y_{\max} = 4 \quad \text{za} \quad x = 0

Za detaljnu analizu znaka funkcije, možemo je faktorisati:

y=−14(x2−16)=−14(x−4)(x+4)y = -\frac{1}{4}(x^2 - 16) = -\frac{1}{4}(x - 4)(x + 4)
x∈(−∞,−4)x \in (-\infty, -4)
x∈(−4,4)x \in (-4, 4)
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
x+4x+4
++
++
++
x−4x-4
++
++
++
−14-\frac{1}{4}
++
++
++
yy
++
++
++

Na osnovu tabele (ili činjenice da je parabola okrenuta nadole), zapisujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna i negativna:

y>0za x∈(−4,4)y<0za x∈(−∞,−4)∪(4,+∞)\begin{aligned} y > 0 &\quad \text{za } x \in (-4, 4) \\ y < 0 &\quad \text{za } x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \end{aligned}

Monotonost funkcije: Funkcija raste do temena, a zatim opada.

y↗za x∈(−∞,0)y↘za x∈(0,+∞)\begin{aligned} y \nearrow &\quad \text{za } x \in (-\infty, 0) \\ y \searrow &\quad \text{za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Na osnovu dobijenih tačaka (nule: (−4,0) (-4, 0) i (4,0), (4, 0) , teme i presek sa y-osom: (0,4) (0, 4) ) i analiziranih svojstava, možemo skicirati grafik funkcije. Grafik je parabola simetrična u odnosu na y-osu.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti