1121.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

3,75+3+6+22\sqrt{3,75+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2\sqrt{2}}
REŠENJE ZADATKA

Pretvorićemo decimalni broj u razlomak kako bismo lakše uočili strukturu izraza ispod korena.

3,75=375100=1543,75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}

Sada izraz pod korenom možemo zapisati u novom obliku.

154+3+6+22\frac{15}{4} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}

Pokušaćemo da izraz pod korenom predstavimo kao kvadrat trinoma oblika (x+y+z)2. (x+y+z)^2 . Znamo da važi formula:

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

Upoređivanjem dobijamo sistem jednačina za dvostruke proizvode. Pretpostavićemo da su to sabirci sa korenima:

{2xy=32xz=62yz=22\begin{cases} 2xy = \sqrt{3} \\ 2xz = \sqrt{6} \\ 2yz = 2\sqrt{2} \end{cases}

Pomnožimo sve tri jednačine međusobno kako bismo našli vrednost proizvoda xyz xyz na kvadrat.

(2xy)(2xz)(2yz)=3⋅6⋅22(2xy)(2xz)(2yz) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2}

Računamo proizvod na desnoj strani:

8x2y2z2=236=2⋅6=128x^2y^2z^2 = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12

Deljenjem sa 8 dolazimo do vrednosti kvadrata proizvoda svih promenljivih:

x2y2z2=128=32x^2y^2z^2 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

Sada računamo kvadrate pojedinačnih promenljivih. Kvadriramo prvu jednačinu iz sistema i dobijamo 4x2y2=3, 4x^2y^2 = 3 , pa iz toga tražimo z2: z^2 :

z2=x2y2z2x2y2=3234=2  ⟹  z=2z^2 = \frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} = 2 \implies z = \sqrt{2}

Iz druge jednačine, kvadriranjem dobijamo 4x2z2=6, 4x^2z^2 = 6 , pa tražimo y2: y^2 :

y2=x2y2z2x2z2=3264=1  ⟹  y=1y^2 = \frac{x^2y^2z^2}{x^2z^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{4}} = 1 \implies y = 1

Iz treće jednačine, kvadriranjem dobijamo 4y2z2=8, 4y^2z^2 = 8 , pa tražimo x2: x^2 :

x2=x2y2z2y2z2=3284=34  ⟹  x=32x^2 = \frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{8}{4}} = \frac{3}{4} \implies x = \frac{\sqrt{3}}{2}

Proveravamo da li zbir kvadrata x2+y2+z2 x^2 + y^2 + z^2 odgovara prvom članu pod korenom (154 \frac{15}{4} ):

x2+y2+z2=34+1+2=34+124=154x^2 + y^2 + z^2 = \frac{3}{4} + 1 + 2 = \frac{3}{4} + \frac{12}{4} = \frac{15}{4}

Pošto se vrednosti poklapaju, izraz pod korenom je savršen kvadrat trinoma:

154+3+6+22=(32+1+2)2\frac{15}{4} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{2}\right)^2

Zamenom u početni izraz, s obzirom na to da su svi sabirci pozitivni, koren i kvadrat se poništavaju, čime dobijamo konačno rešenje:

(32+1+2)2=32+1+2\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti