1131.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći matematički izraz:

(23−1+33−2+153−3)⋅(3+5)−1\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1} + \frac{3}{\sqrt{3}-2} + \frac{15}{3-\sqrt{3}}\right) \cdot (\sqrt{3}+5)^{-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak je racionalizacija svakog razlomka unutar zagrade pojedinačno kako bismo uklonili korene iz imenioca.

23−1⋅3+13+1=2(3+1)3−1=2(3+1)2=3+1\frac{2}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1

Racionalizujemo drugi razlomak množenjem sa 3+2: \sqrt{3}+2 :

33−2⋅3+23+2=3(3+2)3−4=33+6−1=−33−6\frac{3}{\sqrt{3}-2} \cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{3(\sqrt{3}+2)}{3-4} = \frac{3\sqrt{3}+6}{-1} = -3\sqrt{3}-6

Racionalizujemo treći razlomak. Primetimo da je 3−3=3(3−1), 3-\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) , ali ćemo koristiti standardnu racionalizaciju:

153−3⋅3+33+3=15(3+3)9−3=15(3+3)6=5(3+3)2=15+532\frac{15}{3-\sqrt{3}} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{15(3+\sqrt{3})}{9-3} = \frac{15(3+\sqrt{3})}{6} = \frac{5(3+\sqrt{3})}{2} = \frac{15+5\sqrt{3}}{2}

Sada sabiramo dobijene vrednosti unutar zagrade i svodimo ih na zajednički imenilac 2:

(3+1)+(−33−6)+15+532=−23−5+15+532=−43−10+15+532(\sqrt{3}+1) + (-3\sqrt{3}-6) + \frac{15+5\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}-5 + \frac{15+5\sqrt{3}}{2} = \frac{-4\sqrt{3}-10+15+5\sqrt{3}}{2}

Sređujemo brojilac izraza unutar zagrade:

3+52\frac{\sqrt{3}+5}{2}

Konačno, množimo rezultat zagrade sa (3+5)−1, (\sqrt{3}+5)^{-1} , što je isto što i deljenje sa 3+5: \sqrt{3}+5 :

3+52⋅13+5=12\frac{\sqrt{3}+5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}+5} = \frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti