1109.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Pojednostavi dati iracionalni izraz:

23+5−13+482\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo uprošćavamo najdublji koren 48 \sqrt{48} izvlačenjem činioca ispred korena.

48=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}

Sada posmatramo izraz pod sledećim korenom: 13+43. \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} . Ovaj izraz možemo napisati kao kvadrat binoma.

13+43=12+1+2⋅23⋅1=(23+1)213 + 4\sqrt{3} = 12 + 1 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = (2\sqrt{3} + 1)^2

Korenujemo kvadrat binoma, vodeći računa da je rezultat pozitivan:

13+43=(23+1)2=23+1\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2} = 2\sqrt{3} + 1

Zamenjujemo dobijenu vrednost nazad u početni izraz i računamo sledeći unutrašnji koren:

5−(23+1)=4−23\sqrt{5 - (2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}

Izraz 4−23 4 - 2\sqrt{3} takođe prepoznajemo kao kvadrat binoma.

4−23=3+1−2⋅3⋅1=(3−1)24 - 2\sqrt{3} = 3 + 1 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 = (\sqrt{3} - 1)^2

Korenujemo dobijeni kvadrat binoma:

(3−1)2=3−1\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1

Vraćamo se na poslednji, spoljašnji koren i sređujemo izraz pod njim:

23+(3−1)=22+32\sqrt{3 + (\sqrt{3} - 1)} = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}

Da bismo rešili 2+3, \sqrt{2 + \sqrt{3}} , možemo upotrebiti Lagranžov identitet ili transformisati izraz tako da dobijemo kvadrat binoma množenjem i deljenjem sa 2.

24+232=2⋅(3+1)222\sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}}

Sređujemo izraz do konačnog rezultata vršeći racionalizaciju ako je potrebno:

2⋅3+12=23+22⋅22=26+222=6+22 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti