Podeli

1100.
Korenovanje

REŠENJE ZADATKA

Kao i u prethodnom postupku, uvodimo smenu $x = \sqrt[6]{a} ,$ odakle sledi da je $a = x^6 .$

x = \sqrt[6]{a} \implies a = x^6

Izražavamo kvadratni i kubni koren preko nove promenljive $x .$

\sqrt{a} = x^3 \quad \text{i} \quad \sqrt[3]{a} = x^2

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz.

\frac{x^6 - 1}{x^3 - x^2}

Faktorišemo brojilac i imenilac kako bismo pripremili razlomak za skraćivanje.

Iz imenioca izvlačimo zajednički faktor $x^2 .$

x^3 - x^2 = x^2(x - 1)

Brojilac ovog puta posmatramo kao razliku kubova $(x^2)^3 - 1^3 ,$ a zatim dobijeni faktor $(x^2 - 1)$ rastavljamo kao razliku kvadrata.

x^6 - 1 = (x^2)^3 - 1 = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^4 + x^2 + 1)

Zapisujemo razlomak u novom, faktorisanom obliku.

\frac{(x - 1)(x + 1)(x^4 + x^2 + 1)}{x^2(x - 1)}

Skraćujemo razlomak sa zajedničkim faktorom $x - 1 .$ Pretpostavljamo da je $x \neq 1 ,$ odnosno $a \neq 1 .$

\frac{(x + 1)(x^4 + x^2 + 1)}{x^2}

Da bismo u imeniocu dobili $a$ (što odgovara $x^6$ ), množimo i brojilac i imenilac sa $x^4 .$

\frac{x^4(x + 1)(x^4 + x^2 + 1)}{x^6}

U brojiocu raspoređujemo $x^4$ kao $x^2 \cdot x^2$ i množimo svaku zagradu odgovarajućim delom.

\frac{x^2(x + 1) \cdot x^2(x^4 + x^2 + 1)}{x^6} = \frac{(x^3 + x^2)(x^6 + x^4 + x^2)}{x^6}

Vraćamo prvobitnu smenu u dobijeni izraz, zamenjujući stepene promenljive $x$ odgovarajućim korenima iz $a .$

\frac{(\sqrt{a} + \sqrt[3]{a})(a + \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a})}{a}

1100.Korenovanje