1456.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati: (z1z2)‾=z1‾z2‾, \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} , (z2≠0). (z_2 \neq 0) .

(z1z2)‾=z1‾z2‾\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}
REŠENJE ZADATKA

Neka su kompleksni brojevi z1 z_1 i z2 z_2 zapisani u algebarskom obliku. Uvodimo zamene:

z1=a+bi,z2=c+diz_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Prvo računamo količnik z1z2 \frac{z_1}{z_2} množenjem brojioca i imenioca konjugovanim parom imenioca z2‾=c−di: \overline{z_2} = c - di :

z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Određujemo konjugovanu vrednost dobijenog količnika (menjamo znak imaginarnog dela):

(z1z2)‾=ac+bdc2+d2−bc−adc2+d2i=(ac+bd)−(bc−ad)ic2+d2\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} - \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Sada računamo desnu stranu jednakosti, odnosno količnik konjugovanih vrednosti z1‾=a−bi \overline{z_1} = a - bi i z2‾=c−di: \overline{z_2} = c - di :

z1‾z2‾=a−bic−di⋅c+dic+di\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \frac{a - bi}{c - di} \cdot \frac{c + di}{c + di}

Množimo kompleksne brojeve u brojiocu i imeniocu:

(ac+bd)+(ad−bc)ic2+d2=(ac+bd)−(bc−ad)ic2+d2\frac{(ac + bd) + (ad - bc)i}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Upoređivanjem rezultata iz koraka 3 i koraka 5, vidimo da su izrazi identični, čime je dokaz završen.

(ac+bd)−(bc−ad)ic2+d2=(ac+bd)−(bc−ad)ic2+d2\frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti