1361.

87.v

TEKST ZADATKA

Izračunati:

(1+i)100(1−i)96−i(1+i)98\frac{(1 + i)^{100}}{(1 - i)^{96} - i(1 + i)^{98}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo vrednosti izraza (1+i)2 (1 + i)^2 i (1−i)2 (1 - i)^2 jer će nam one olakšati stepenovanje kompleksnih brojeva.

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i(1−i)2=1−2i+i2=1−2i−1=−2i(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \\ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Sada transformišemo stepene u brojiocu i imeniocu koristeći dobijene rezultate.

(1+i)100=((1+i)2)50=(2i)50(1−i)96=((1−i)2)48=(−2i)48(1+i)98=((1+i)2)49=(2i)49(1 + i)^{100} = ((1 + i)^2)^{50} = (2i)^{50} \\ (1 - i)^{96} = ((1 - i)^2)^{48} = (-2i)^{48} \\ (1 + i)^{98} = ((1 + i)^2)^{49} = (2i)^{49}

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz i uprošćavamo stepene broja i. i .

(2i)50(−2i)48−i(2i)49\frac{(2i)^{50}}{(-2i)^{48} - i(2i)^{49}}

Izvlačimo zajednički faktor 248 2^{48} u imeniocu i primenjujemo osobine stepenovanja.

250⋅i50248⋅i48−i⋅249⋅i49=250⋅i50248⋅i48−249⋅i50\frac{2^{50} \cdot i^{50}}{2^{48} \cdot i^{48} - i \cdot 2^{49} \cdot i^{49}} = \frac{2^{50} \cdot i^{50}}{2^{48} \cdot i^{48} - 2^{49} \cdot i^{50}}

Znamo da je i48=(i4)12=1 i^{48} = (i^4)^{12} = 1 i i50=i48⋅i2=1⋅(−1)=−1. i^{50} = i^{48} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 . Uvrštavamo ove vrednosti.

250⋅(−1)248⋅1−249⋅(−1)=−250248+249\frac{2^{50} \cdot (-1)}{2^{48} \cdot 1 - 2^{49} \cdot (-1)} = \frac{-2^{50}}{2^{48} + 2^{49}}

Faktorišemo imenilac izvlačenjem 248 2^{48} ispred zagrade i skraćujemo razlomak.

−250248(1+21)=−250248⋅3=−223=−43\frac{-2^{50}}{2^{48}(1 + 2^1)} = \frac{-2^{50}}{2^{48} \cdot 3} = \frac{-2^2}{3} = -\frac{4}{3}