405.

Kombinovani nizovi

TEKST ZADATKA

Tri broja čiji je zbir 26 obrazuju geometrijski niz. Uveća li se srednji za 4, dobija se aritmetički niz. Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a1+a2+a3=26a_1+a_2+a_3=26

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a1(1+q+q2)=26a_1(1+q+q^2)=26

Primeniti pravilo aritmetičkog niza b2=b1+b32b_2=\frac{b_1+b_3}{2}

a2+4=a1+a32a_2+4=\frac{a_1+a_3}{2}

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

2(a1q+4)=a1+a1q22(a_1q+4)=a_1+a_1q^2

Srediti izraz:

2a1q+8−a1−a1q2=02a_1q+8-a_1-a_1q^2=0
a1(q2−2q+1)=8⇒a1=8q2−2q+1a_1(q^2-2q+1)=8 \rArr a_1=\frac{8}{q^2-2q+1}

Zameniti dobijeni izraz a1a_1u početni izraz za zbir:

8q2−2q+1(1+q+q2)=26\frac{8}{q^2-2q+1}(1+q+q^2)=26

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina 3q2−10q+3=03q^2-10q+3=0sa rešenjima a1=3a_1=3i q2=13q_2=\frac{1}{3}

Ako je q=3q=3onda je a1=2,a2=6a_1=2, a_2=6 i a3=18.a_3=18.

Ako je q=13q=\frac{1}{3}onda je a1=18,a2=6a_1=18, a_2=6 i a3=2.a_3=2.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti