1477.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Naći realna rešenja jednačine:

x6+3x3+2=0x^6 + 3x^3 + 2 = 0
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=x3 t = x^3 kako bismo jednačinu sveli na kvadratni oblik. Primetimo da je tada x6=(x3)2=t2. x^6 = (x^3)^2 = t^2 .

t2+3t+2=0t^2 + 3t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po promenljivoj t t koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t1,2=−b±b2−4ac2at_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata a=1,b=3,c=2 a=1, b=3, c=2 u obrazac i računamo diskriminantu.

t1,2=−3±32−4⋅1⋅22⋅1=−3±9−82t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=−3+12=−1,t2=−3−12=−2t_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1, \quad t_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2

Vraćamo smenu x3=t x^3 = t za prvo rešenje t1=−1. t_1 = -1 .

x3=−1  ⟹  x=−13x^3 = -1 \implies x = \sqrt[3]{-1}

Pošto tražimo realna rešenja, dobijamo prvu vrednost:

x1=−1x_1 = -1

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=−2. t_2 = -2 .

x3=−2  ⟹  x=−23x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}

Realno rešenje možemo zapisati izvlačenjem minusa ispred korena:

x2=−23x_2 = -\sqrt[3]{2}

Konačna realna rešenja jednačine su:

x∈{−1,−23}x \in \{-1, -\sqrt[3]{2}\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti