1468. Jednačine koje se svode na kvadratne

Uvodimo smenu $t = x^2$ kako bismo bikvadratnu jednačinu sveli na kvadratnu po promenljivoj $t .$ Uz to, mora važiti uslov $t \ge 0 .$

t^2 - (25 + a^2)t + 25a^2 = 0

Određujemo koeficijente kvadratne jednačine $At^2 + Bt + C = 0 :$

A = 1, \quad B = -(25 + a^2), \quad C = 25a^2

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine po formuli $D = B^2 - 4AC :$

D = (-(25 + a^2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25a^2 = (25 + a^2)^2 - 100a^2

Sređujemo izraz za diskriminantu koristeći kvadrat binoma i uočavamo da je to ponovo kvadrat binoma:

D = 625 + 50a^2 + a^4 - 100a^2 = a^4 - 50a^2 + 625 = (a^2 - 25)^2

Računamo rešenja za $t$ koristeći kvadratnu formulu:

t_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{(25 + a^2) \pm (a^2 - 25)}{2}

Računamo pojedinačne vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{25 + a^2 + a^2 - 25}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2, \quad t_2 = \frac{25 + a^2 - a^2 + 25}{2} = \frac{50}{2} = 25

Vraćamo smenu $x^2 = t$ za oba dobijena rešenja:

x^2 = a^2 \quad \text{ili} \quad x^2 = 25

Konačna rešenja jednačine su:

x_1 = a, \quad x_2 = -a, \quad x_3 = 5, \quad x_4 = -5

1468.Jednačine koje se svode na kvadratne