575. Integral racionalne funkcije

Odrediti integral:

\int{\frac{(x+1)^3}{x^2-x}}\space dx

Primeniti formulu za kub zbira:

\int{\frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^2-x}\space dx}

Deljenjem razlomka dobija se rešenje $x+4$ i ostatak $7x+1$ te je potrebno zapisati integral na drugačiji način:

\int{\frac{(x+1)^3}{x^2-x}\space dx}=\int{(x+4)\space dx}+\int{\frac{7x+1}{x(x-1)}\space dx}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{7x+1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}

Pomnožiti imeniocem $x(x-1)$ obe strane jednačine.

7x+1=A(x-1)+Bx

Osloboditi se zagrada.

7x+1=Ax-A+Bx

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B=7

-A=1\rArr A=-1

Rešenje sistema je:

A=-1,\space B=8

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{7x+1}{x(x-1)}\space dx}=\int{\frac{A}{x}\space dx}+\int{\frac{B}{x-1}\space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{7x+1}{x(x-1)}\space dx}=\int{\frac{-1}{x}\space dx}+\int{\frac{8}{x-1}\space dx}

Dobijeni izraz $\int{\frac{7x+1}{x(x-1)}\space dx}=\int{\frac{-1}{x}\space dx}+\int{\frac{8}{x-1}\space dx}$ zameniti u izrazu za početni integral $\int{\frac{(x+1)^3}{x^2-x}\space dx}=\int{(x+4)\space dx}+\int{\frac{7x+1}{x(x-1)}\space dx}$

\int{\frac{(x+1)^3}{x^2-x}\space dx}=\int{4\space dx}\int{x\space dx}+\int{\frac{-1}{x}\space dx}+\int{\frac{8}{x-1}\space dx}

Primeniti tablične integrale:

4x+\frac{x^2}{2}-\ln{x}+8\ln{|x-1|}+C=\frac{x^2}{2}+4x+\ln{|\frac{(x-1)^8}{x}|}+C

575.Integral racionalne funkcije

575.
Integral racionalne funkcije