544. Integral racionalne funkcije

Odrediti integral:

\int{\frac{x^2+3}{x^3-x^2-6x}\space dx}

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{x^2+3}{x^3-x^2-6x}\space dx}=\int{\frac{x^2+3}{x(x^2-x-6)}\space dx}=\int{\frac{x^2+3}{x(x+2)(x-3)}\space dx}

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x^2+3}{x(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-3}

Pomnožiti imeniocem $x(x-3)(x+2)$ obe strane jednačine.

x^2+3=A(x+2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x+2)

Osloboditi se zagrada.

x^2+3=Ax^2-Ax-6A+Bx^2-3Bx+Cx^2+2Cx

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

x^2+3=x^2(A+B+C)+x(-A-3B+2C)-6A

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

A+B+C=1

-A-3B+2C=0

-6A=3

Rešenje sistema je:

A=-\frac{1}{2}, \quad B=\frac{7}{10},\quad C=\frac{4}{5}

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{x^2+3}{x(x+2)(x-3)}}\space dx=\int{\frac{A}{x}}\space dx+\int {\frac{B}{x+2}}\space dx+\int{\frac{C}{x-3}}\space dx

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{-\frac{1}{2}}{x}}\space dx+\int {\frac{\frac{7}{10}}{x+2}}\space dx+\int{\frac{\frac{4}{5}}{x-3}}\space dx

Primeniti formulu za tablične integrale:

-\frac{1}{2}\ln{|x|}+\frac{7}{10}\ln{|x+2|}+\frac{4}{5}\ln{|x-3|}+C

Srediti izraz:

\ln{\frac{\sqrt[10]{(x+2)^7}\cdot \sqrt[5]{(x-3)^4}}{\sqrt{x}}}+C

544.Integral racionalne funkcije