Podeli

542.
Integral racionalne funkcije

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)}

Pomnožiti imeniocem $(x-1)(x^2+1)$ obe strane jednačine.

x=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)

Osloboditi se zagrada.

x=Ax^2+A+Bx^2-Bx+Cx-C

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

x=x^2(A+B)+x(-B+C)+A-C

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

1. \quad A+B=0

2. \quad -B+C=1

3. \quad A-C=0

Rešenje sistema je:

A=C=\frac{1}{2},\quad B=-\frac{1}{2}

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}}\space dx=\int{\frac{A}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{Bx+C}{(x^2+1)}}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{\frac{1}{2}}{(x-1)}}\space dx+\int{\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{(x^2+1)}}\space dx=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{(x-1)}}\space dx-\frac{1}{2}\int{\frac{x-1}{(x^2+1)}}\space dx

Uvesti smenu: $t=x-1$ i primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}\space dx = \ln{|x| + C}}$ prilikom rešavanja integrala: $\int{\frac{1}{(x-1)}}\space dx.$

\int{\frac{1}{(x-1)}}\space dx = \ln{|x-1|}+C

Rešiti integral: $\int{\frac{x-1}{(x^2+1)}}\space dx:$

\int{\frac{x-1}{(x^2+1)}}\space dx=\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}-\arctg{x}+C

DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti pravilo za sabiranje/oduzimanje integrala: $\int{ ( f(x) \pm g(x) )\space dx} = \int{f(x)\space dx} \pm \int{g(x)\space dx}$

\int{\frac{x-1}{(x^2+1)}}\space dx=\int{\frac{x}{(x^2+1)}}\space dx-\int{\frac{1}{(x^2+1)}}\space dx

Uvesti smenu: $x^2+1=t$ i odrediti izvod obe strane:

\frac{d}{dx} (x^2+1) = \frac{d}{dx} t

2x\space dx=dt \implies dx = \frac{dt}{2x}

Uvrstiti smenu u prvi integral.

\int{\frac{x}{t} \space \frac{dt}{2x}}-\int{\frac{1}{(x^2+1)}}\space dx = \frac 1 2\int{\frac{dt}{t} }-\int{\frac{1}{(x^2+1)}}\space dx

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}\space dx = \ln{|x| + C}}$

\frac 1 2 \ln{|t|} \ - \int{\frac{1}{(x^2+1)}}\space dx

Vratiti smenu $t=x^2+1$

\frac 1 2 \ln{|x^2+1|} \ - \int{\frac{1}{(x^2+1)}}\space dx

Primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x^2+1}\space dx = \arctg{x} + C}$

\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}-\arctg{x}+C

Rešenje početnog integrala:

\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}}\space dx=\ln{|x-1|}+\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}-\arctg{x}+C

542.Integral racionalne funkcije

542.
Integral racionalne funkcije