496. Integral racionalne funkcije

Odrediti integral:

\int{\frac{x-1}{x^3+x^2}\space dx}

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{x-1}{x^3+x^2}\space dx} = \int{\frac{x-1}{x^2(x+1)} \space dx}

Nule imenioca $x^2(x+1)$ su realne i višestruke.

x_1=x_2=0 \quad \lor \quad x_3=-1

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

\frac{x-1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x^2} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x+1}

Pomnožiti imeniocem $x^2(x+1)$ obe strane jednačine.

x-1 = A(x+1) + Bx(x+1) +C x^2

Osloboditi se zagrada.

x-1 = Ax+A + Bx^2 + Bx +C x^2

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

x-1 = (B+C)x^2 + (A+B)x + A

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

1. \quad B+C = 0

2. \quad A+B = 1

3. \quad A=-1

Rešenje sistema je:

A=-1, \quad B=2, \quad C=-2

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{\frac{x-1}{x^2(x+1)} \space dx} = \int{\frac{A}{x^2} \space dx} + \int{\frac{B}{x} \space dx} + \int{\frac{C}{x+1} \space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

-\int{\frac{1}{x^2} \space dx} + \int{\frac{2}{x} \space dx} - \int{\frac{2}{x+1} \space dx}

Uvesti smenu: $t=x+1$ i primeniti tablične integrale: $\int{x^{n}\space dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C}\quad$ i $\quad \int{\frac{1}{x}\space dx = \ln{|x| + C}}$

\frac{1}{x} + 2\ln{|x|} - 2\ln{|x+1|} + C

Srediti rešenje primenom pravila za logaritme: $\ln{x^n} = n\ln{x}\quad$ i $\quad \ln{\frac{x}{y}} = \ln{x} - \ln{y}$

\frac{1}{x} + \ln{|x|^2} - \ln{|x+1|^2} + C = \frac{1}{x} + \ln{|\frac{x^2}{(x+1)^2}|} + C

496.Integral racionalne funkcije

496.
Integral racionalne funkcije