386.

Geometrijski niz

TEKST ZADATKA

Neka je b1,b2,b3,...,bn,...b_1, b_2, b_3,...,b_n,...geometrijska progresija sa količnikom q za koju važi da je zbir b1+b2+...+bn+...=−4b_1+b_2+...+b_n+...=-4i da je b4−b1=7(q−1)2.b_4-b_1=7(q-1)^2. Odrediti b2002.b_{2002}.

REŠENJE ZADATKA

Zbog neodređenosti geometrijskog niza važi pravilo −1<q<1-1<q<1

Primeniti formulu za zbir neodređenog geometrijskog niza:

S=b11−q=−4⇒b1=−4(1−q)S=\frac{b_1}{1-q}=-4 \rArr b_1=-4(1-q)

Primeniti formulu za opšti član u navedenom izrazu:b4−b1=7(q−1)1b_4-b_1=7(q-1)^1

b1(q3−1)=7(q−1)2b_1(q^3-1)=7(q-1)^2

Uvrstiti izraz za b1b_1

4(q−1)(q−1)(q2+q+1)=7(1−q)24\cancel{(q-1)(q-1)}(q^2+q+1)=7\cancel{(1-q)^2}

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina 4q2+4q−3=04q^2+4q-3=0sa rešenjima q1=−128q_1=-\frac{12}{8}i q2=12q_2=\frac{1}{2}

Zbog uslova zadatka uzima se samo rešenje q=12q=\frac{1}{2}i onda je b1=−2b_1=-2

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

b2002=b1⋅q2001=−122000b_{2002}=b_1\cdot q^{2001}=-\frac{1}{2^{2000}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti