2042. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Grupišemo stepene sa osnovom $2$ (odnosno $4$ ) na jednu stranu, a stepene sa osnovom $3$ na drugu stranu jednačine.

4^{2x+2} + 2^{4x+3} = 3^{2x+\frac{5}{2}} + 3^{2x+\frac{3}{2}}

Zapisujemo $4$ kao $2^2$ kako bismo imali istu osnovu na levoj strani.

(2^2)^{2x+2} + 2^{4x+3} = 3^{2x+\frac{5}{2}} + 3^{2x+\frac{3}{2}}

Množimo izložioce po pravilu $(a^m)^n = a^{m \cdot n} .$

2^{4x+4} + 2^{4x+3} = 3^{2x+\frac{5}{2}} + 3^{2x+\frac{3}{2}}

Izvlačimo zajednički faktor ispred zagrade na obe strane jednačine. Na levoj strani to je $2^{4x+3} ,$ a na desnoj $3^{2x+\frac{3}{2}} .$

2^{4x+3}(2^1 + 1) = 3^{2x+\frac{3}{2}}(3^1 + 1)

Sabiramo vrednosti u zagradama.

2^{4x+3} \cdot 3 = 3^{2x+\frac{3}{2}} \cdot 4

Delimo obe strane sa $3 \cdot 4$ kako bismo razdvojili osnove.

\frac{2^{4x+3}}{4} = \frac{3^{2x+\frac{3}{2}}}{3}

Zapisujemo $4$ u imeniocu kao $2^2 .$

\frac{2^{4x+3}}{2^2} = \frac{3^{2x+\frac{3}{2}}}{3^1}

Primenjujemo pravilo za deljenje stepena istih osnova: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .$

2^{4x+3-2} = 3^{2x+\frac{3}{2}-1}

Sređujemo izložioce.

2^{4x+1} = 3^{2x+\frac{1}{2}}

Primećujemo da je izložilac na levoj strani duplo veći od izložioca na desnoj strani. Zato levu stranu možemo zapisati drugačije.

2^{2(2x+\frac{1}{2})} = 3^{2x+\frac{1}{2}}

Primenjujemo pravilo $a^{m \cdot n} = (a^m)^n$ na levoj strani.

(2^2)^{2x+\frac{1}{2}} = 3^{2x+\frac{1}{2}}

Računamo osnovu na levoj strani.

4^{2x+\frac{1}{2}} = 3^{2x+\frac{1}{2}}

Delimo celu jednačinu sa $3^{2x+\frac{1}{2}}$ (što je uvek veće od nule).

\left(\frac{4}{3}\right)^{2x+\frac{1}{2}} = 1

Pošto je bilo koji broj (različit od nule) na nulti stepen jednak $1 ,$ izložilac mora biti jednak nuli.

2x + \frac{1}{2} = 0

Rešavamo linearnu jednačinu po $x .$

2x = -\frac{1}{2}

Delimo sa $2$ da dobijemo konačno rešenje.

x = -\frac{1}{4}

2042.Eksponencijalne jednačine i nejednačine