2041. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Grupišemo stepene sa osnovom 3 na levu stranu, a stepene sa osnovom 2 na desnu stranu.

3^{\frac{x}{2}} - 3^{\frac{x}{2}-1} = 2^{\frac{x-1}{3}} + 2^{\frac{x+2}{3}}

Izvlačimo zajednički faktor na obe strane. Na levoj strani to je $3^{\frac{x}{2}-1} ,$ a na desnoj $2^{\frac{x-1}{3}} .$

3^{\frac{x}{2}-1}(3^1 - 1) = 2^{\frac{x-1}{3}}(1 + 2^{\frac{x+2}{3} - \frac{x-1}{3}})

Računamo izraz u eksponentu kod osnove 2: $\frac{x+2}{3} - \frac{x-1}{3} = \frac{x+2-(x-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1 .$

3^{\frac{x}{2}-1}(3 - 1) = 2^{\frac{x-1}{3}}(1 + 2^1)

Sređujemo izraze u zagradama.

3^{\frac{x}{2}-1} \cdot 2 = 2^{\frac{x-1}{3}} \cdot 3

Delimo celu jednačinu sa $2 \cdot 3$ kako bismo razdvojili osnove.

\frac{3^{\frac{x}{2}-1}}{3} = \frac{2^{\frac{x-1}{3}}}{2}

Primenjujemo pravilo za deljenje stepena istih osnova $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .$

3^{\frac{x}{2}-1-1} = 2^{\frac{x-1}{3}-1}

Sređujemo eksponente.

3^{\frac{x}{2}-2} = 2^{\frac{x-4}{3}}

Svaki eksponent svodimo na zajednički imenilac.

3^{\frac{x-4}{2}} = 2^{\frac{x-4}{3}}

Zapisujemo stepene tako da izdvojimo zajednički eksponent $x-4 .$

(3^{\frac{1}{2}})^{x-4} = (2^{\frac{1}{3}})^{x-4}

Delimo jednačinu sa $(2^{\frac{1}{3}})^{x-4}$ (što je uvek veće od nule).

\left(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{3}}}\right)^{x-4} = 1

Pošto je osnova različita od 1, jednačina oblika $a^y = 1$ ima rešenje samo kada je eksponent jednak nuli.

x - 4 = 0

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu.

x = 4

2041.Eksponencijalne jednačine i nejednačine