2029. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primenjujemo pravila za stepenovanje da bismo razdvojili eksponente:

2 \cdot 2^{3x} + 1 = 2^{2x} + 2 \cdot 2^x

Uvodimo smenu $t = 2^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi uslov $t > 0 .$ Jednačina postaje:

2t^3 + 1 = t^2 + 2t

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine kako bismo dobili polinom trećeg stepena:

2t^3 - t^2 - 2t + 1 = 0

Faktorišemo polinom grupisanjem članova:

t^2(2t - 1) - (2t - 1) = 0

Izvlačimo zajednički faktor $2t - 1$ ispred zagrade:

(t^2 - 1)(2t - 1) = 0

Rastavljamo razliku kvadrata $t^2 - 1 :$

(t - 1)(t + 1)(2t - 1) = 0

Izjednačavamo svaki od faktora sa nulom da bismo našli potencijalna rešenja za $t :$

t_1 = 1, \quad t_2 = -1, \quad t_3 = \frac{1}{2}

Zbog početnog uslova $t > 0 ,$ odbacujemo rešenje $t_2 = -1 .$ Preostala rešenja su:

t \in \left\{ 1, \frac{1}{2} \right\}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t = 1 :$

2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t = \frac{1}{2} :$

2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1

Konačna rešenja polazne jednačine su:

x \in \{-1, 0\}

2029.Eksponencijalne jednačine i nejednačine