2035. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Grupišemo stepene sa osnovom 5 na levu stranu, a stepene sa osnovom 4 na desnu stranu.

5^{\frac{2x+4}{5}} - 5^{\frac{2x-1}{5}} = 4^{\frac{2x}{3}} + 4^{\frac{2x-3}{3}}

Zapišimo izložioce tako da možemo da izdvojimo zajednički faktor. Primetimo da je $\frac{2x+4}{5} = \frac{2x-1}{5} + 1$ i $\frac{2x-3}{3} = \frac{2x}{3} - 1 .$

5^{\frac{2x-1}{5} + 1} - 5^{\frac{2x-1}{5}} = 4^{\frac{2x}{3}} + 4^{\frac{2x}{3} - 1}

Primenjujemo pravila za stepenovanje $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ i $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n} .$

5^{\frac{2x-1}{5}} \cdot 5^1 - 5^{\frac{2x-1}{5}} = 4^{\frac{2x}{3}} + 4^{\frac{2x}{3}} \cdot 4^{-1}

Izvlačimo zajedničke faktore ispred zagrade na obe strane jednačine.

5^{\frac{2x-1}{5}} (5 - 1) = 4^{\frac{2x}{3}} \left(1 + \frac{1}{4}\right)

Računamo vrednosti u zagradama.

5^{\frac{2x-1}{5}} \cdot 4 = 4^{\frac{2x}{3}} \cdot \frac{5}{4}

Delimo jednačinu sa 4 i sa 5 kako bismo grupisali stepene sa istom osnovom.

\frac{5^{\frac{2x-1}{5}}}{5} = \frac{4^{\frac{2x}{3}}}{16}

Zapisujemo imenioce kao stepene i primenjujemo pravilo $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .$

5^{\frac{2x-1}{5} - 1} = \frac{4^{\frac{2x}{3}}}{4^2}

Sređujemo izložioce na obe strane.

5^{\frac{2x-6}{5}} = 4^{\frac{2x}{3} - 2} \implies 5^{\frac{2x-6}{5}} = 4^{\frac{2x-6}{3}}

Zapisujemo stepene tako da imaju isti izložilac $2x-6 .$

(5^{\frac{1}{5}})^{2x-6} = (4^{\frac{1}{3}})^{2x-6}

Delimo obe strane sa $(4^{\frac{1}{3}})^{2x-6} .$

\left( \frac{5^{\frac{1}{5}}}{4^{\frac{1}{3}}} \right)^{2x-6} = 1

Pošto je osnova stepena različita od 1, jednakost važi samo ako je izložilac jednak nuli.

2x - 6 = 0

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu.

2x = 6

Konačno rešenje je:

x = 3

487.lj