1991.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu jednačinu: 52x−3=2⋅5x−2+3. 5^{2x-3} = 2 \cdot 5^{x-2} + 3 .

52x−3=2⋅5x−2+35^{2x-3} = 2 \cdot 5^{x-2} + 3
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo eksponente koristeći pravilo stepenovanja am−n=aman a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} kako bismo izolovali stepene sa nepoznatom x. x .

52x53=2⋅5x52+3\frac{5^{2x}}{5^3} = 2 \cdot \frac{5^x}{5^2} + 3

Zamenimo vrednosti stepena broja 5 (53=125 5^3 = 125 i 52=25 5^2 = 25 ) u jednačinu.

52x125=2⋅5x25+3\frac{5^{2x}}{125} = \frac{2 \cdot 5^x}{25} + 3

Uvodimo smenu t=5x, t = 5^x , pri čemu mora važiti uslov t>0. t > 0 . Tada je 52x=(5x)2=t2. 5^{2x} = (5^x)^2 = t^2 .

t2125=2t25+3\frac{t^2}{125} = \frac{2t}{25} + 3

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem za 125 i 25, a to je 125, kako bismo se oslobodili razlomaka.

t2=5⋅2t+125⋅3t^2 = 5 \cdot 2t + 125 \cdot 3

Sređujemo jednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu da bismo dobili kvadratnu jednačinu po t. t .

t2−10t−375=0t^2 - 10t - 375 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

t1,2=−(−10)±(−10)2−4⋅1⋅(−375)2⋅1t_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i korene.

t1,2=10±100+15002=10±16002=10±402t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 1500}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{1600}}{2} = \frac{10 \pm 40}{2}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=502=25,t2=−302=−15t_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad t_2 = \frac{-30}{2} = -15

Proveravamo uslov smene t>0. t > 0 . Rešenje t2=−15 t_2 = -15 odbacujemo jer eksponencijalna funkcija ne može biti negativna. Vraćamo se na smenu sa t1=25. t_1 = 25 .

5x=255^x = 25

Zapišemo broj 25 kao stepen osnove 5 i izjednačimo eksponente.

5x=52  ⟹  x=25^x = 5^2 \implies x = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti