1963.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

0,5x2⋅22(x+1)⋅64=10,5^{x^2} \cdot 2^{2(x+1)} \cdot 64 = 1
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rešavanju je svođenje svih osnova na istu osnovu. Primetićemo da se svi brojevi mogu izraziti kao stepeni broja 2. Zapišimo 0,5, 0,5 , 64 64 i 1 1 preko osnove 2:

0,5=12=2−164=261=200,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \\ 64 = 2^6 \\ 1 = 2^0

Zamenimo ove vrednosti u početnu jednačinu:

(2−1)x2⋅22(x+1)⋅26=20(2^{-1})^{x^2} \cdot 2^{2(x+1)} \cdot 2^6 = 2^0

Koristimo pravilo za stepenovanje stepena (an)m=an⋅m (a^n)^m = a^{n \cdot m} i sredimo eksponente:

2−x2⋅22x+2⋅26=202^{-x^2} \cdot 2^{2x+2} \cdot 2^6 = 2^0

Koristimo pravilo za množenje stepena istih osnova an⋅am=an+m, a^n \cdot a^m = a^{n+m} , tako što saberemo eksponente na levoj strani:

2−x2+2x+2+6=202−x2+2x+8=202^{-x^2 + 2x + 2 + 6} = 2^0 \\ 2^{-x^2 + 2x + 8} = 2^0

Pošto su osnove na obe strane jednake, možemo izjednačiti eksponente:

−x2+2x+8=0-x^2 + 2x + 8 = 0

Dobili smo kvadratnu jednačinu. Pomnožimo celu jednačinu sa −1 -1 radi lakšeg računanja i primenimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x2−2x−8=0x1,2=−b±b2−4ac2ax1,2=2±(−2)2−4⋅1⋅(−8)2⋅1x^2 - 2x - 8 = 0 \\ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i nalazimo rešenja:

x1,2=2±4+322x1,2=2±362x1,2=2±62x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x1=2+62=82=4x2=2−62=−42=−2x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \\ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti