1964.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu jednačinu:

0,125⋅42x−8=(0,252)−x0,125 \cdot 4^{2x-8} = \left(\frac{0,25}{\sqrt{2}}\right)^{-x}
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak je da sve članove jednačine svedemo na stepene sa istom osnovom. Primećujemo da su svi brojevi stepeni broja 2. Zapišimo decimalne brojeve i korene u obliku stepena broja 2:

0,125=1251000=18=2−34=220,25=25100=14=2−22=2120,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \\ 4 = 2^2 \\ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 2^{-2} \\ \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}

Sada zamenjujemo ove vrednosti u početnu jednačinu:

2−3⋅(22)2x−8=(2−2212)−x2^{-3} \cdot (2^2)^{2x-8} = \left(\frac{2^{-2}}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{-x}

Sređujemo levu i desnu stranu koristeći pravila za stepenovanje (am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n} i aman=am−n: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} :

2−3⋅22(2x−8)=(2−2−12)−x2^{-3} \cdot 2^{2(2x-8)} = \left(2^{-2 - \frac{1}{2}}\right)^{-x}

Dalje uprošćavamo eksponente:

2−3⋅24x−16=(2−52)−x2−3+4x−16=2(−52)⋅(−x)2^{-3} \cdot 2^{4x-16} = \left(2^{-\frac{5}{2}}\right)^{-x} \\ 2^{-3 + 4x - 16} = 2^{(-\frac{5}{2}) \cdot (-x)}

Sređivanjem dobijamo:

24x−19=252x2^{4x-19} = 2^{\frac{5}{2}x}

Pošto su osnove jednake, možemo izjednačiti eksponente:

4x−19=52x4x - 19 = \frac{5}{2}x

Množimo celu jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomka i računamo vrednost nepoznate x: x :

8x−38=5x8x−5x=383x=38x=3838x - 38 = 5x \\ 8x - 5x = 38 \\ 3x = 38 \\ x = \frac{38}{3}

Konačno rešenje možemo zapisati i kao mešovit broj:

x=1223x = 12\frac{2}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti