541.

Eksponencijalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

23x+1+1=22x+2x+12^{3x+1}+1=2^{2x}+2^{x+1}
REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo množenja stepena: am⋅an=am+n: a^m \cdot a^n= a^{m+n} :

23x⋅21+1=22x+2x⋅212^{3x}\cdot2^1+1=2^{2x}+2^x\cdot2^1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

23x⋅2−22x−2x⋅2+1=02^{3x}\cdot2-2^{2x}-2^x\cdot2+1=0

Uvesti smenu:

2x=t2^x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t3−t2−2t+1=02t^3-t^2-2t+1=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

t2(2t−1)−(2t−1)=0t^2(2t-1)-(2t-1)=0

Ponovo izvući zajednički činilac ispred zagrade, koji je u ovom slučaju ceo izraz u zagradi:

(t2−1)(2t−1)=0(t^2-1)(2t-1)=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata:a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(t−1)(t+1)(2t−1)=0(t-1)(t+1)(2t-1)=0

Jednačina ima tri rešenja:

t−1=0∨t+1=0∨2t−1=0t-1=0 \quad\lor\quad t+1=0 \quad\lor\quad 2t-1=0

Odatle se dobija:

t=1∨t=−1∨t=12t=1 \quad\lor\quad t=-1 \quad\lor\quad t=\frac 12

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

2x=1∨2x=−1∨2x=122^x=1 \quad\lor\quad 2^x=-1 \quad\lor\quad 2^x=\frac 12

Druga jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

2x=−1  ⟹  x∉R2^x=-1\implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem prve i treće jednačine dobija se:

x=0∨x=−1x=0 \quad\lor\quad x=-1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti