TEKST ZADATKA
U razvoju binoma ( x 2 3 + y x ) n , (\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{y}{x})^{n}, ( 3 x 2 + x y ) n , x ≠ 0 , x \neq 0, x = 0 , n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N odrediti član koji ne sadrži x x x ako je binomni koeficijent trećeg člana veći za 5 5 5 od binomnog koeficijenta drugog člana.
REŠENJE ZADATKA
Izraz se može drugačije zapisati:
( x 2 3 + y x ) n = ( x 2 3 + x − 1 y ) n (\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{y}{x})^{n} = (x^{\frac{2}{3}} + x^{-1}y)^{n} ( 3 x 2 + x y ) n = ( x 3 2 + x − 1 y ) n Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: T k + 1 = ( n k ) a ( n − k ) b k , T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k, T k + 1 = ( k n ) a ( n − k ) b k , gde je: a = x 2 3 , a=x^{\frac{2}{3}}, a = x 3 2 , b = x − 1 y b=x^{-1}y b = x − 1 y
T k = ( n k ) ( x 2 3 ) n − k ( x − 1 ) k y k = ( n k ) x 2 3 ( n − k ) x − k y k T_{k} = \binom{n}{k} (x^{\frac{2}{3}})^{n-k} (x^{-1})^k y^k = \binom{n}{k} x^{\frac{2}{3}(n-k)} x^{-k} y^k T k = ( k n ) ( x 3 2 ) n − k ( x − 1 ) k y k = ( k n ) x 3 2 ( n − k ) x − k y k T k = ( n k ) x ( 2 3 n − 2 3 k − k ) y k = ( n k ) x 2 n − 2 k − 3 k 3 y k = ( n k ) x 2 n − 5 k 3 y k T_{k} = \binom{n}{k} x^{(\frac{2}{3}n - \frac{2}{3}k - k)} y^k = \binom{n}{k} x^{\frac{2n-2k-3k}{3}} y^k = \binom{n}{k} x^{\frac{2n-5k}{3}} y^k T k = ( k n ) x ( 3 2 n − 3 2 k − k ) y k = ( k n ) x 3 2 n − 2 k − 3 k y k = ( k n ) x 3 2 n − 5 k y k Za član koji ne sadrži x , x, x , važi da eksponent uz x x x mora da bude jednak 0. 0. 0.
2 n − 5 k 3 = 0 ⟹ k = 2 5 n \frac{2n-5k}{3} = 0 \quad \implies \quad k=\frac{2}{5}n 3 2 n − 5 k = 0 ⟹ k = 5 2 n Postaviti uslov da binomni koeficijent trećeg člana bude veći za 5 5 5 od binomnog koeficijenta drugog člana:
( n 2 ) = ( n 1 ) + 5 \binom{n}{2} = \binom{n}{1} + 5 ( 2 n ) = ( 1 n ) + 5 Primeniti formulu za binomni koeficijent: ( n k ) = n ! ( n − k ) ! k ! \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!} ( k n ) = ( n − k )! k ! n !
n ! ( n − 2 ) ! 2 ! = n ! ( n − 1 ) ! 1 ! + 5 \frac{n!}{(n-2)! \space 2!} = \frac{n!}{(n-1)! \space 1!} + 5 ( n − 2 )! 2 ! n ! = ( n − 1 )! 1 ! n ! + 5 Srediti obe strane jednačine.
n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ! ( n − 2 ) ! 2 = n ( n − 1 ) ! ( n − 1 ) ! + 5 \frac{n (n-1) (n-2)!}{(n-2)! \space 2} = \frac{n (n-1)!}{(n-1)! } + 5 ( n − 2 )! 2 n ( n − 1 ) ( n − 2 )! = ( n − 1 )! n ( n − 1 )! + 5 n ( n − 1 ) 2 = n + 5 \frac{n (n-1) }{2} = n + 5 2 n ( n − 1 ) = n + 5 n ( n − 1 ) = 2 n + 10 n (n-1) = 2n + 10 n ( n − 1 ) = 2 n + 10 n 2 − 3 n − 10 = 0 n^2-3n -10 = 0 n 2 − 3 n − 10 = 0 Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli: x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c , gde su a = 1 , a=1, a = 1 , b = − 3 , b=-3, b = − 3 , c = − 10. c=-10. c = − 10.
n = 3 ± 9 + 40 2 = 3 ± 49 2 = 3 ± 7 2 n = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} n = 2 3 ± 9 + 40 = 2 3 ± 49 = 2 3 ± 7 Dva rešenja su:
n 1 = 10 2 = 5 ∨ n 2 = − 4 2 = − 2 n_1 = \frac{10}{2}=5 \quad \lor \quad n_2 = \frac{-4}{2}=-2 n 1 = 2 10 = 5 ∨ n 2 = 2 − 4 = − 2 Pošto n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N uzima se rešenje:
Uvrstiti n = 5 n=5 n = 5 u izraz: k = 2 5 n k=\frac{2}{5}n k = 5 2 n
k = 2 5 ⋅ 5 = 2 k =\frac{2}{5} \cdot 5 = 2 k = 5 2 ⋅ 5 = 2 Traženi član koji ne sadrži x x x je:
T 2 = ( 5 2 ) x 2 ⋅ 5 − 5 ⋅ 2 3 y 2 = ( 5 2 ) x 2 ⋅ 5 − 5 ⋅ 2 3 y 2 = 10 y 2 T_{2} = \binom{5}{2} x^{\frac{2\cdot5-5\cdot2}{3}} y^2 = \binom{5}{2} x^{\frac{2\cdot5-5\cdot2}{3}} y^2 = 10y^2 T 2 = ( 2 5 ) x 3 2 ⋅ 5 − 5 ⋅ 2 y 2 = ( 2 5 ) x 3 2 ⋅ 5 − 5 ⋅ 2 y 2 = 10 y 2