756.

Algebarski oblik

TEKST ZADATKA

Izračunati

3−4i\sqrt{3-4i}
REŠENJE ZADATKA

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x2−y2=32xy=−4x^2-y^2=3 \\ 2xy=-4
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je 3−4i=x+iy,\sqrt{3-4i}=x+iy, gde su xx i yy realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

3−4i=x+iy3−4i=(x+iy)23−4i=x2+2xyi+i2y2\sqrt{3-4i}=x+iy \\ 3-4i=(x+iy)^2 \\ 3-4i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je i2=−1i^2=-1 dobija se:

3−4i=x2+2xyi−y23-4i=x^2+2xyi-y^2

Iz druge jednačine izraziti y.y.

2xy=−4  ⟹  y=−2x2xy=-4 \implies y=-\frac2x

Uvrstiti y=−2xy=-\frac2x u prvu jednačinu.

x2−(−2x)2=3x2−4x2=3x4−3x2−4=0x^2-\bigg(-\frac2x\bigg)^2=3 \\ x^2-\frac4{x^2}=3 \\ x^4-3x^2-4=0

Uvesti smenu t=x2.t=x^2.

t2−3t−4=0t^2-3t-4=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−3b=-3 i c=−4c=-4

t1,2=3±(−3)2−4⋅1⋅(−4)2⋅1t1,2=3±9+162t1,2=3±52t_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}\\ t_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}\\ t_{1,2} = \frac{3\pm5}{2}

Jednačina ima dva rešenja:

t1=4∨t2=−1t_1=4 \quad\lor\quad t_2=-1

Kako je t=x2t=x^2 ne može biti negativno, rešenje t2=−1t_2=-1 se odbacuje.

Za t1=4t_1=4 rešenja za xx su:

x1=2∨x2=−2x_1=2 \quad\lor\quad x_2=-2

Rešenja za yy su:

y1=−22=−1y2=−2−2=1y_1=-\frac2{2}=-1 \\ y_2=-\frac2{-2}=1

Za x1=2x_1=2 i y1=−1y_1=-1 rešenje je:

3−4i=2−i\sqrt{3-4i}=2-i

Za x2=−2x_2=-2 i y2=1y_2=1 rešenje je:

3−4i=−2+i\sqrt{3-4i}=-2+i

Dva moguća rešenja su:

2−i,−2+i2-i, \quad -2+i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti